Modulorechnen mit Polynomen

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MatlMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Modulorechnen mit Polynomen
Meine Frage:
Im Lehrbuch Elementare Galoiistheorie vonMarc Nieper lese ich auf seite 120:
Wenn zwei normierte Funktionen f(x) und g(x) modulo p (p eine Primzahl) äquivalent sind, dann überträgt sich die Irreduzibilität von f auf g.

Dieser Satz erscheint mir falsch!

Meine Ideen:
Gegenbeispiel:
Ich rechne mod 5!
f(x) = x^2 + 1 irreduzibel in den ganzen Zahlen.
g(x) = x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) , also reduziebel in den ganzen Zahlen.
Aber: Die Polynome sind offensichtlich äquivalent
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

f und g sind kongruent mod 5, f und g sind reduzibel mod 5. Da kann sich keine Irreduzibilität übertragen, also widerspricht dieses Beispiel nicht dem Satz. Man sieht ja auch sofort, dass 2 und 3 die Nullstellen von mod 5 sind.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@MatlMathe

Ich denke auch, du hast die "Irreduzibilität" in diesem Satz missverstanden als eine in , wo tatsächlich die Irreduzibilität in gemeint ist.
MatlMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Modulorechnen bei Polynomen
Klar, ich argumentiere in der Menge ℤ[x] statt in ℤp[x]!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

mod p ist . sind die ganzen p-adischen Zahlen. Soll man nicht verwechseln.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja ich als Algebra-Laie hab öfter schon gelesen, dass und synonym verwendet werden - wahrscheinlich von ebensolchen Stümpern wie ich einer bin.

U.a. auch in der Wikipedia. Vielleicht stellst du das dort mal richtig. smile
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

als Beispiel für eine Faktorgruppe lasse ich mir gerade noch gefallen, weil es weder einen Körper noch die ganzen 6-adischen Zahlen gibt. Die endlichen Körper treten nur mit Primzahlpotenzen und die p-adischen Zahlen nur mit Primzahlen p auf.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Ansicht nach gibt es da keine unumstößlichen Bezeichnerkonventionen. Zu meiner Studienzeit hießen die Körper noch und ihre Unterkörper (EDIT: natürlich Oberkörper, wie Elvis besserwisserisch anmerkt) . Nach Bourbaki hatte sich für die ganzen Zahlen etabliert. Und wenn man mit den ganzen Zahlen etwas anstellte, sie etwa modulo reduzierte, schrieb man dafür gerne, aber nicht ausschließlich, . Die Angelsachsen haben mit ihren fields die Körper dann verefft. Aber für Körper muß man genau so wenig mögen wie die Bezeichung restaurant für eine Freßbude ohne Messer und Gabel von McDonalds (wobei ich freimütig zugebe, daß es mich manches Mal auch gelüstet, mir so einen Hamburger reinzuziehen). Ich bin da einfach so ein alter unbelehrbarer Sack, der Körper weiterhin nennt, glaubt, daß es zwei Geschlechter gibt, und Studenten einfach Studenten nennt, vielleicht auch, weil ich weiß, daß Student vom Partizip Präsens studens des Verbs studere (sich bemühen) aus dem Lateinischen abgeleitet ist. Und das Partizip Präsens studens mit Stamm student- wird lateinisch in allen drei grammatischen Geschlechtern gleich dekliniert (Ausnahme Akkusativ Singular Neutrum und Nominativ und Akkusativ Plural Neutrum). Aber so etwas verstehen Gesinnungstäter nicht. Gesinnung schlägt Bildung. Und was die Henselschen -adischen Zahlkörper angeht, so sind das schon besondere Konstrukte für Algebra-Spezialisten. Ich könnte wetten, daß da die verschiedenen Schulen die unterschiedlichsten Bezeichnungen dafür verwenden, vielleicht , und für ganze -adische Zahlen auch . Von mir aus. Solche Sachen ergeben sich immer aus dem Zusammenhang mit Hilfe einer kleinen Nebenbemerkung des Autors. Und dieser Zusammenhang war bei HAL klar.

Elvis, entschuldige meine Besserwisserei, aber deine hat mich dazu provoziert. Im übrigen einen schönen und friedvollen Feierabend.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

L/K ist für mich die Standardbezeichnung für eine Körpererweiterung, hat Bourbaki wirklich K/L geschrieben? In den p-adischen Zahlkörpern ist der absolute Hasse - Hensel - Standard für die vollständige Hülle der algebraischen Hülle der p-adischen Zahlen.
Nachtrag. Irgendwie habe ich mal wieder Mist gebaut und unterschlagen. Hammer Nachtrag Ende.

Ich entschuldige Besserwisserei nicht, ich liebe sie heiß und innig, da ich ihrer bekanntlich selber fröne. Augenzwinkern
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