Mittelpunkt Kugel

10.11.2022, 09:52

Cinzio20

Mittelpunkt Kugel

Hallo zusammen

Ich habe eine Kugel mit Radius 2 gegeben. Diese berührt die Ebene 3x - 2y + 6z - 5 = 0. Zudem weiss ich, dass die Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden $\begin{eqnarray*} g: \vec{r} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 4 Einheiten voneinander entfernt sind.

Berechnen soll ich dann den Mittelpunkt.

Was aber heisst "4 Einheiten voneinander entfernt"? Sind da sowohl die x-, y- als auch die z-Koordinaten gemeint? Oder wie soll ich die Aufgabe angehen?

10.11.2022, 09:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cinzio20
Was aber heisst "4 Einheiten voneinander entfernt"?

Damit ist einfach der normale (d.h. euklidische) Abstand gemeint - was sonst!

Kleiner Tipp: 4 Einheiten entspricht bei einer Kugel vom Radius 2 exakt deren Durchmessergröße. Eine Gerade schneidet eine Kugel nun genau dann in einer solchen Weise, wenn sie durch den Kugelmittelpunkt verläuft.

P.S.: Die ansonsten gleiche Aufgabe, aber mit einem gegebenem Abstand $\begin{eqnarray*} s<4 \end{eqnarray*}$ der beiden Kugelschnittpunkte kann in eine größere Rechnerei ausarten, und am Ende hat man zudem eine ganze Lösungsschar statt nur der zwei Lösungen für Abstand 4: Wenn mich meine Anschauung nicht trügt, sind das dann zwei Ellipsen im Raum. smile

10.11.2022, 11:29

Cinzio20

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Ah ok, dann macht das Sinn, dass die Gerade durch den Mittelpunkt der Kugel geht.

Wie aber kann man den Mittelpunkt der Kugel konkret berechnen?

Meine Idee wäre gewesen, via Normalvektor der gegeben Ebene zu arbeiten. Dieser sollte ja die Länge 2 haben. Allerdings weiss ich ja nicht, welchen Anfangspunkt ich nehmen soll... Andere Ideen?

10.11.2022, 12:55

HAL 9000

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Meine Idee wäre folgende:

Aus der Ebenengleichung kannst du direkt über deren HNF die (vorzeichenbehaftete) Abstandsfunktion $\begin{eqnarray*} d(x,y,z) = \frac{3x-2y+6z-5}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}} = \frac{3x-2y+6z-5}{7} \end{eqnarray*}$ eines Punktes $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ von der genannten Ebene aufstellen. Hier setzt du nun die Punkte deiner Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein und löst die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} d(x,y,z) = \pm 2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf und hast damit dann die beiden möglichen Mittelpunkte.

10.11.2022, 16:30

Cinzio20

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Ah perfekt - das hat geklappt so! smile

Nun habe ich noch folgendes Problem: Ist die Gerade $\begin{eqnarray*} h: \vec{r} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Tangente der Kugel?

Ich habe mit der Abstandsformel $\begin{eqnarray*} \frac{ MP \cross \vec{v}}{| \vec{v} \} \end{eqnarray*}$ argumentiert, wobei P = (8 / 2 / 3). Wo aber liegt mein Denkfehler?
Für einen Mittelpunkt müsste ich nämlich aufs Fazit kommen, dass h eine Tangente ist - beides Mal kriege ich aber nicht den Abstand 2...

Danke für die Hilfe! smile

10.11.2022, 16:32

Cinzio20

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Formelkorrektur: $\begin{eqnarray*} \frac{|\vec{MP} \times \vec{v} |}{| \vec{v}|} \end{eqnarray*}$

10.11.2022, 16:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cinzio20
Nun habe ich noch folgendes Problem: Ist die Gerade $\begin{eqnarray*} h: \vec{r} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Tangente der Kugel?

Welcher Kugel? Oben gab es ZWEI Lösungskugeln.

11.11.2022, 08:32

Cinzio20

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Laut Lösungen ist die Gerade eine Tangente der Kugel mit Mittelpunkt M = (1 / -5 / 1), nicht aber der anderen Kugel.

11.11.2022, 08:40

HAL 9000

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Ok, das kann man beispielsweise so angehen: Um die Schnittpunkte der Gerade mit der Kugel zu bestimmen, setzt man die Geradengleichung in die Kreisgleichung

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + (y+5)^2 + (z-1)^ 2 = 2^2 \end{eqnarray*}$

ein, das ergibt $\begin{eqnarray*} (7+t)^2 + (7+t)^2 + 2^2 = 2^2 \end{eqnarray*}$ . Die Gerade ist nun genau dann Tangente, wenn diese Quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ hat.

Sonderlich viel rechnen muss man nicht mehr, um genau dies hier zu bestätigen.

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Die andere Kugel hat Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_2\left( -\frac{25}{3}, 9, \frac{17}{3}\right) \end{eqnarray*}$ und entsprechend Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{25}{3}\right)^2 + (y-9)^2 + \left(z-\frac{17}{3}\right)^2 = 2^2 \end{eqnarray*}$ .

Auch hier $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} \left(t+\frac{49}{3}\right)^2 + (t-7)^2 + \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = 2^2 \end{eqnarray*}$ , was sofort erkennbar keine reelle Lösung haben kann.

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