Interpretation der DFT – Diskrete Fourier-Transformation

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Robert Matzke Auf diesen Beitrag antworten »
Interpretation der DFT – Diskrete Fourier-Transformation
Ich bin kein Mathematiker - daher ist meine Frage nicht auf Hochschulniveau, aber das Thema der Diskrete Fourier-Transformation sicher schon.

Durch die diskreten Abstände der "Eingabe" (in der Zeitdomäne) entstehen ja auch die stufenweisen Frequenzbänder in gleichen Abständen - zum einfachen Bsp. im 10 Hz-Abstand. Wenn die Eingabe idealisiert eine 40 Hz-Schwingung ist, gibt es in der Ausgabe nur beim 40Hz-Band den "Werte-Ausschlag" alle anderen sind null. (richtig so weit?)
Wenn das Eingangssignal aber eine Schwingung (mit gleicher Intensität) ist, die zwischen den 10Hz-Abständen liegt (42 Hz; 45 Hz; 48Hz): Inwiefern ändern sich die Werte im Frequenzspektrum?
Bleibt der 40 Hz-Balken genau gleich oder wird er kleiner? Wird dafür der 50 Hz-Wert schon angesprochen? Könnte man aus dem Verhältnis der benachbarten Frequenzwerte dann auf die genaue Eingangsfrequenz schließen?

Die Frage bezieht sich nur auf die idealisierte / mathematische Umformung vom Zeitsignal ins Frequenzspektrum (und nicht auf echte Messtechnik und alles was da noch hineinspielt)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpretation der DFT – Diskrete Fourier-Transformation
Das ist der gefürchtete Leck-Effekt. Wenn Du in Deinem Beispiel mit 45Hz reingehst, kommt die 40-Hz-Linie und die 50-Hz-Linie beide mit etwa 70% der Höhe, und alle anderen Linien sind ebenfalls zu sehen.

Die FFT "denkt" nämlich, dass sich das abgetastete Signal, das ja leider nicht so anfängt wie es aufhört, so periodisch weiter fortsetzt. Und berechnet halt das Spektrum dieses abgehackten Signals.

Bei 48 Hz ist dann in der Tat die 50-Hz-Linie entsprechend stärker da als die 40-Hz-Linie. Manche Analysatoren versuchen dann tatsächlich, die "wahre" Frequenz zu berechnen.

Abhilfe schafft die sogenannte Fensterung. Klassischerweise nimmt man einen Cosinuszug von Null bis Eins (das "von-Hann-Fenster", die Amerikaner haben daraus das Verb "hanning" gebildet). Plump ausgedrückt gewichtet man die störenden Abhackungen an den Rändern damit weniger als die Mitte. So ist bei 45Hz die Linienhöhe nur noch ein paar Prozent zu klein und es sind auch nur zwei, drei Linienpaare links und rechts zu sehen. Es gibt noch andere Fenster, z.B. "Flat Top", bei dem die Linienhöhe dann fast gleichbleibt, dafür gibt es etwas mehr Linienpaare links und rechts.

Viele Grüße
Steffen
Robert Matzke Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen, vielen Dank für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort!

Der Link zu Leck-Effekt und der Fensterung hilft auch super (gut die richtigen Begriffe zu bekommen und dann weiter zu recherchieren)

Zitat:
So ist bei 45Hz die Linienhöhe nur noch ein paar Prozent zu klein und es sind auch nur zwei, drei Linienpaare links und rechts zu sehen.


heißt das die 45 Hz bilden sich dann mit (ungefähr) je 50% bei 40 Hz und 50 Hz ab?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat. Die Nachbarlinien werden in diesem Fall gleichstark "angeregt":

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