Bestimmung des prozentualen Gehalts nach Reduktion einer Komponente

11.11.2022, 10:46

Kequ

Bestimmung des prozentualen Gehalts nach Reduktion einer Komponente

Meine Frage:
Ich hänge hier grad an einem Problem und bin mir nicht sicher ob meine Gedanken korrekt sind. Das Problem ist folgendes:

Ich habe ein System welches aus N Komponenten besteht, im Beispiel seien es a,b,c,d,e. Der Gehalt beträgt a=80%, b=10%, c=2% d=3% und e=5%.

Die Frage ist jetzt wie sich die prozentualen Anteile aller Komponenten ändern, wenn ich eine oder mehrere Komponenten ändere.

Als Beispiel würde ich den Gehalt von b um 90% reduzieren und den Gehalt von c um 50%.
Der neue Gehalt von b sind demnach
$\begin{eqnarray*} b_{neu} =0.1*b =1% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{neu} =0.5*c =1% \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste meiner Meinung nach die Summe der beiden Differenzen, den andern Komponenten zugeschlagen werden und zwar in dem Maß wie sie auch anteilig am System beteiligt sind.

Also a müsste zusätzlich $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a+d+e}*\left(0.9*b+0.5*c\right) \end{eqnarray*}$ erhalten, also $\begin{eqnarray*} a_{neu}=a+ \frac{a}{a+d+e}*\left(0.9*b+0.5*c\right) \end{eqnarray*}$
und selbes für d und e

Jedneflls ergibt so die Summe aller _N_neu wieder 1. Ich bin mir aber nicht 100% sicher.

Außerdem würde die Formel nur für den Fall gelten, wenn b und c reduziert werden. Wenn c nicht reduziert wird fehlt es im Nenner des Bruchs. Die Formel müsste für jeden individuellen Einzelfall anders aussehen

Meine Ideen:

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

11.11.2022, 12:13

Steffen Bühler

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RE: Bestimmung des prozentualen Gehalts nach Reduktion einer Komponente
Wenn jeder der Anteile $\begin{eqnarray*} a \dots e \end{eqnarray*}$ mit einem eigenen Änderungsfaktor $\begin{eqnarray*} f_a \dots f_e \end{eqnarray*}$ mulitpliziert wird, wird die Summe im Nenner ja $\begin{eqnarray*} a \cdot f_a + b \cdot f_b +c \cdot f_c +d \cdot f_d +e \cdot f_e \end{eqnarray*}$ sein. Und so ergeben sich dann die neuen prozentualen Anteile $\begin{eqnarray*} \frac {a \cdot f_a }{a \cdot f_a + b \cdot f_b +c \cdot f_c +d \cdot f_d +e \cdot f_e} \end{eqnarray*}$ etc.

Viele Grüße
Steffen

11.11.2022, 13:00

Kequ

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In meinem Fall wären die Faktoren ja $\begin{eqnarray*} f_{a}=f_{d}=f_{e}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{b}=0.1 ,f_{c}=0.5 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall würde die Summe über alle n_neu aber 0.999768707842553 ergeben und nicht 1, und $\begin{eqnarray*} b_{neu} =c_{neu}=0.011097410604192 \end{eqnarray*}$ und nicht 0.1.

Evtl. liegt hier auch ein Missverständnis vor in meiner Formulierung. b und c werden nicht um 90% oder 50% reduziert, sondern dem System werden absolut gesehen so viele b und c Teilchen entzogen, sodass bei der Messung $\begin{eqnarray*} b_{neu} =c_{neu}=0.1 \end{eqnarray*}$ raus kommt. Dies entspricht dann letztendlicher einer Reduzierung um 90% btw 50%. Bzw wahrscheinlich sind dann die 90 und 50 falsch, wenn man es auf den neuen Zustand bezieht, da sich die andern Anteile ja auch geändert haben

11.11.2022, 13:14

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Kequ
In meinem Fall wären die Faktoren ja $\begin{eqnarray*} f_{a}=f_{d}=f_{e}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{b}=0.1 ,f_{c}=0.5 \end{eqnarray*}$

Genau. Und damit ist der Nenner, auf den sich bezogen wird, nun

$\begin{eqnarray*} 0,8 \cdot 1 + 0,1 \cdot 0,1 + 0,02 \cdot 0,5 + 0,03 \cdot 1 +0,05 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0,8 + 0,01 + 0,01 + 0,03+0,05=0,9 \end{eqnarray*}$

Und das ergibt die neuen Anteile
$\begin{eqnarray*} a' = \frac {0,8}{0,9} = 0,\overline 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b' = \frac {0,01}{0,9} = 0,0 \overline 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c' = \frac {0,01}{0,9} = 0,0 \overline 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d' = \frac {0,03}{0,9}= 0,0 \overline 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e' = \frac {0,05}{0,9} =0,0 \overline 5 \end{eqnarray*}$

11.11.2022, 13:24

Kequ

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Dann ist die Annahme der Vorfaktoren wohl falsch und ich suche zusätzlich die Vorfaktoren, sodass $\begin{eqnarray*} b_{neu}=c_{neu}=0.01 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} b_{neu}=c_{neu}=0.0\overline{1} \end{eqnarray*}$

11.11.2022, 13:53

Steffen Bühler

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Ok, neuer Versuch. Wenn der auch nichts wird, könntest Du ja mal schreiben, um was es eigentlich geht.

Gesucht sind also Vorfaktoren, die die ursprünglichen Anteile b=0,1 und c=0,02 auf einen gleich großen Wert bringen soll. Und der soll dann in der neuen Summe einen Anteil von 0,01 haben.

Wenn der Vorfaktor für b den Wert x hat, muss der Vorfaktor für c somit ein Fünftel davon sein.

Na denn:

$\begin{eqnarray*} 0,8 \cdot 1 + 0,1 \cdot x + 0,02 \cdot \frac x 5 + 0,03 \cdot 1 +0,05 \cdot 1 = 0,88 + 0,104x \end{eqnarray*}$

Das ist der neue Nenner. Und nun soll gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac {0,1 \cdot x }{0,88 + 0,104x}=0,01 \to x = \dots \end{eqnarray*}$

11.11.2022, 14:14

HAL 9000

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Ok, dann meinst du es wohl so:

Zitat:

Als Beispiel soll der Gehalt von b von 10% auf 1% sinken, und der von c von 2% auf 1% sinken. Alle anderen sollen proportional ihrer bisherigen Anteile steigen.

Das kann man z.B. so rechnen:

Summe aller Anteile ohne b,c vorher: 88%
Summe aller Anteile ohne b,c nachher: 98%

Somit werden alle Prozentzahlen a,d,e mit Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{98}{88} \end{eqnarray*}$ multipliziert, was gerundet dann folgende Nachher-Verteilung ergibt:

a 89.1%
b 1%
c 1%
d 3.34%
e 5.56%

Aber Achtung: Das bedeutet NICHT, dass 90% der ursprünglichen Masse von b bzw. 50% der Masse von c entnommen wurden, um auf diese Anteile zu kommen! Wenn du das willst, dann verweise ich auf die ursprüngliche Rechnung von Steffen.

11.11.2022, 14:39

Kequ

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Eigentliches Problem ist wie folgt:

Ein Stahl mit N Komponenten (Fe, Ni, Mn, Nb, C,N,...) ist ein mehrphasiges System , welches aus der Matrix besteht und den Ausscheidungsphasen (Niobcarbid, Titannitrid,...)
man kann jetzt schlecht alle Partikel abzählen und analysieren weil sie zu klein und zu viele sind, man kann aber die Matrix auflösen, die Partikel herausfiltern und die Zusammensetzung des Überstandes nasschemisch bestimmen.
Hatte der Stahl vorher eine nominale Zusammensetzung mit zb 0.08wt% Nb hat der Überstand der Matrix nasschemisch ermittelt noch 0.02wt% Nb. Also Eine Reduktion um 75% würde man meinen....

Für eine Kinetik-Simulation muss ich mir ständig die Zusammensetzung aller Phasen neu berechnen, welche sich ständig mit Phasenanteilen und Zusammensetzung ändern... und scheinbar hab ich mir dabei nen Knoten ins Hirn gezaubert...

Das wäre jedenfalls das eigentliche Problem. Absolut bleibt der Anteil an Fe in der Matrix ja konstant, weil Fe nicht ausgeschieden wird in andere Partikel, aber da Nb fehlt steigt eben der relative Anteil, nicht nur von Fe sondern allem was nicht ausgeschieden wird.

11.11.2022, 14:41

Kequ

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Der Wert muss nicht gleich groß sein, war im Beispiel so gewählt, um zu zeigen, dass die Reduzierung unterschiedliche Faktoren haben kann. Könnte aber auch anders sein.

11.11.2022, 14:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Kequ
Könnte aber auch anders sein.

Macht nichts. Dann nimmst Du ein x an und gibst allen anderen die entsprechenden Faktoren vors x.

11.11.2022, 14:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn der Vorfaktor für b den Wert x hat, muss der Vorfaktor für c somit ein Fünftel davon sein.

Ähem: Meines Erachtens eher anders herum. Am Ende sollen ja die Nachher-Anteile beider gleich sein, nach deiner Rechnung klafft aber nachher ein Faktor 25 zwischen beiden...

11.11.2022, 14:58

Kequ

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Zitat:

Am Ende sollen ja die Nachher-Anteile beider gleich sein

wie gesagt, kann sein, muss nicht, war in dem Beispiel hier zufällig so.

Andere Frage. welcher Reduzierung würde es denn entsprechen wenn nicht 90% bzw 50%, wäre eine Reduktion um 88/98*90% btw 50%?

11.11.2022, 15:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kequ
wie gesagt, kann sein, muss nicht, war in dem Beispiel hier zufällig so.

Ich rede ja auch nur von deinem konkreten Beispiel oben. Aber trotzdem Danke für den Hinweis. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kequ
Andere Frage. welcher Reduzierung würde es denn entsprechen wenn nicht 90% bzw 50%

Ich denke, ich war doch da überaus deutlich oben:

Zitat:

Original von HAL 9000
Summe aller Anteile ohne b,c vorher: 88%
Summe aller Anteile ohne b,c nachher: 98%

Aber noch ausführlicher:

88 % = 100% - 10% - 2%
98 % = 100% - 1% - 1%

Rechne es dir doch aus für andere Varianten der Reduktion.

11.11.2022, 15:29

Steffen Bühler

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Hast natürlich recht mit der 5. Dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 0,88 + 0,2x \end{eqnarray*}$

Dann weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac {0,1 \cdot x }{0,88 + 0,2x}=0,01 \to x \approx 0,08979 \end{eqnarray*}$

Der Nenner hat dann den Wert

$\begin{eqnarray*} 0,88 + 0,2 \cdot 0,08979 \approx 0,898 \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} a'=\frac {0,8}{0,898} \approx 0,89 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b'=\frac {0,1 \cdot 0,88925 }{0,898} = 0,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c'=\frac {0,02 \cdot 0,88925 \cdot 5}{0,898} = 0,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d'=\frac {0,03}{0,898} \approx 0,033 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'=\frac {0,05}{0,898} \approx 0,056 \end{eqnarray*}$

Was übrigens HALs Lösung entspricht.

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