Spur-sigma-Algebra

11.11.2022, 15:41	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur-sigma-Algebra Hallo Liebes Matheboard. Wir haben die folgende Definition gegeben: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}\cap E= \{A \in P(E): \exists F \in \mathcal{E}: A=F\cap E\} \end{eqnarray}$ Jetzt soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \sigma\{\mathcal{E}\cap E\}=\sigma\{\mathcal{E}\}\cap E \end{eqnarray}$ Da wir vorher gezeigt hatten, dass das Rechte eine Sigma-Algebra ist, ist die eine Richtung, dass das Linke im Rechten schon enthalten ist erfüllt... Aber warum muss das Rechte im Linken enthalten sein? Da fehlt es mir an Ideen... Hättet ihr nen Tipp? Grüße, eure HiBee.
11.11.2022, 15:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte allerdings dazu sagen, dass hier von Sigma-Algebren bzgl. verschiedener Grundmengen die Rede ist: $\begin{eqnarray} \sigma\{\mathcal{E}\} \end{eqnarray}$ bzgl. irgendeiner Grundmenge, nennen wir sie $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma\{\mathcal{E}\cap E\} \end{eqnarray}$ bzgl. Grundmenge $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} E\subseteq \Omega \end{eqnarray}$ gelten sollte. P.S.: Die Definition von "Schnitt Mengensystem mit Menge" würde ich kürzer schreiben: $\begin{eqnarray} \mathcal{E}\cap E= \{ F\cap E \mid F\in \mathcal{E}\} \end{eqnarray}$
11.11.2022, 16:05	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja natürlich, das hatte ich vergessen, also noch gegeben: $\begin{eqnarray} E\subset S , \mathcal{E} \subset P(S) \end{eqnarray}$
11.11.2022, 19:43	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt mal versuch mit der Definition etwas ruzuspielen: Also ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal{E})\cap E\subseteq \sigma(\mathcal{E}\cap E) \end{eqnarray}$ und dafür setzt ich jetzt mal die Definition ein: $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal{E})\cap E= \bigcap_{\mathcal{E}\in\mathcal{A}_i}\mathcal{A}_i \cap E \end{eqnarray}$ dann mit DeMorgan: $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal{E})\cap E= \bigcap_{\mathcal{E}\in\mathcal{A}_i}\mathcal{A}_i \cap E = \bigcap_{\mathcal{E}\in\mathcal{A}_i}(\mathcal{A}_i \cap E) \end{eqnarray}$ und dann würde ich meinen man kann daraus direkt schließen, dass; $\begin{eqnarray} \bigcap_{\mathcal{E}\in\mathcal{A}_i}(\mathcal{A}_i \cap E) \subseteq \bigcap_{\mathcal{E}\cap E\in\mathcal{A}_i}(\mathcal{A}_i ) \end{eqnarray}$ und damit wäre man ja fertig... aber ich bin mir noch unsicher, ob ich das wirklich so schließen darf...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »