Schranken

12.11.2022, 15:31

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Schranken

Meine Frage:
Auf der Menge A = N × N ist die Halbordnungsrelation ? wie folgt erkla ?rt: (a, b) ? (c, d) ? a ? c ? b ? d.
Betrachten Sie die Mengen B := {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}.
a) Geben Sie eine obere und eine untere Schranke fu ?r B an.
b) Geben Sie die minimalen Elemente von B an.
c) Untersuchen Sie, ob gro ?ßte und kleinste Elemente von B existieren.
d) Betrachten Sie eine endliche Teilmenge C := {(a1,b2),...,(ak,bk)} von A und zeigen Sie, dass das Supremum und das Infimum von C existiert.

Meine Ideen:
Aufgabe a und b habe ich schon.

Bei C war mein Ansatz, dass es kein kleinstes Element gibt, weil die untere Schranke alle natürlichen Zahlen kleiner gleich 1 betrachtet und dies in keiner Teilmenge aus Menge B gegeben ist. Aber es gibt ein größtes Element, weil die obere Schranke alle natürlichen Zahlen großer gleich 3 betrachtet und das Paar (3,3) diese Bedingung erfüllt und in Menge B vorhanden ist. Ist das richtig?

Und bei d bin ich ehrlicherweise komplett raus

Schonmal danke im Vorraus

12.11.2022, 16:12

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schranken
Hier nochmal besser zum lesen

12.11.2022, 20:20

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schranken
Deine Ausführungen zu c) passen. Zu d) überleg dir wie du bei a) obere/untere Schranken definieren konntest. Die erste Komponente der unteren Schranke durfte nicht größer sein als die erste Komponente aller Paare in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Und das gleiche gilt für die zweite Komponente. Jetzt kann man sich überlegen wie man so ein Paar $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ definieren kann, so dass es die "größte" unter allen diesen Paaren ist.

12.11.2022, 20:22

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schranken
Alles klar vielen vielen Dank
Bei b wollte ich nur nachfragen, ob (1,3) & (2,1) die minimalen Elemente sind?

12.11.2022, 20:51

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schranken
Freude

Freude

12.11.2022, 20:55

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schranken
Perfekt, aber bei d bin ich immernoch lost traurig

traurig

Anzeige

13.11.2022, 09:23

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Definieren wir $\begin{eqnarray*} a = \min_{i=1, \ldots, n} a_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \min_{i=1, \ldots, n} b_i \end{eqnarray*}$ . Überlege dir warum beides wohldefiniert ist (warum existieren diese Minima). Beweise, dass $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ das Infimum für die Menge $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist.

Hoffentlich hast du damit auch eine Idee, wie das Supremum aussieht.

13.11.2022, 09:40

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dass heißt, das da a und b, was du netterweise angegeben hast, das Infimum ist weil es die größte untere Schranke ist, sodass alle Werte größer bzw. gleich mit dem Infimum ist, es beginnt bei 1 aufgrund des Zahlenraumes der natürlichen Zahlen und ist deshalb auch das Minimum dieser Teilmenge C

Somit ist das Supremum je das Maximum dieser Teilmenge, also die kleinste obere Schranke, weil es bis a(k) und b(k) geht, sodass das Supremum durch k bestimmt wird, also muss gelten a(k)/b(k) ist das größte Element dieser Teilmenge C, und keins dieser Menge ist kleiner als a(k)/b(k)

Ist das so richtig?

13.11.2022, 10:07

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von txm03
Achso, dass heißt, das da a und b, was du netterweise angegeben hast, das Infimum ist weil es die größte untere Schranke ist, sodass alle Werte größer bzw. gleich mit dem Infimum ist, es beginnt bei 1 aufgrund des Zahlenraumes der natürlichen Zahlen und ist deshalb auch das Minimum dieser Teilmenge C

Also $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ ist immer eine untere Schranke von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Aber es ist nicht notwendigerweise die größte. Denk mal an $\begin{eqnarray*} C = \{ (100, 100)\} \end{eqnarray*}$ . Offenbar ist $\begin{eqnarray*} (100,100) \end{eqnarray*}$ eine größere untere Schranke. Daher schaut man sich von allen Paaren erst die linke Zahlen an und nimmt die kleinste davon und nimmt das als Teil der untere Schranke (Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ). Danach macht man das gleiche mit dem zweiten Teil der Paare (Definition von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ). Schließlich baut man sich die Schranke mit $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Somit ist das Supremum je das Maximum dieser Teilmenge, also die kleinste obere Schranke, weil es bis a(k) und b(k) geht, sodass das Supremum durch k bestimmt wird, also muss gelten a(k)/b(k) ist das größte Element dieser Teilmenge C, und keins dieser Menge ist kleiner als a(k)/b(k)

Ist das so richtig?

Was meinst du hier mit $\begin{eqnarray*} a(k)/b(k) \end{eqnarray*}$ ? Ich hoffe mal nicht den Quotienten.

13.11.2022, 10:43

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine damit, dass (a(k),(b(k)) das Supremum ist und danke für deine Ergänzung beim Infimum.

wäre aber die Denkweise richtig, dass (a(k),(b(k)) das Supremum ist, richtig?

13.11.2022, 10:47

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht! Was ist denn $\begin{eqnarray*} a(k) \end{eqnarray*}$ für dich? Wie ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ definiert?

Beachte: Für $\begin{eqnarray*} C = \{ (1, 100), (100, 1) \} \end{eqnarray*}$ wäre das Supremum $\begin{eqnarray*} (100,100) \end{eqnarray*}$ und das ist $\begin{eqnarray*} (a(2), b(1)) \end{eqnarray*}$ , es gibt keinen Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ so dass das Supremum von der Form $\begin{eqnarray*} (a(k), b(k)) \end{eqnarray*}$ ist.

13.11.2022, 10:50

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also muss man a und b als maximum angeben, also:
a = maximum a(i)
b = maximum b(i)
i = IN, bis auf die O

13.11.2022, 10:52

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Wie man es formal definiert, schau dir an wie ichs beim Minimum gemacht habe. Bleibt nur noch zu überlegen warum das wohldefiniert ist (d.h. warum das Maximum existiert). Hier ist nun wichtig, dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge ist. Wäre $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ unendlich, so würde wenigstens ein Maximum nicht existieren.

13.11.2022, 11:05

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja beides, sowohl das Supremum, als auch das Infimum, sind wohldefiniert, weil die Teilmenge C endlich ist und somit es immer ein Maximum bzw. Minimum existiert , sodass es immer eine kleinste obere Schranke bzw. ein größte untere Schranke existiert, welche jedoch abhängig sind von den gewählten Elementen in der Menge. Reicht das als Überlegung?

13.11.2022, 11:07

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das passt sicher bis

Zitat:

[...]welche jedoch abhängig sind von den gewählten Elementen in der Menge

Das Supremum hängt natürlichen von den Elementen von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ab. Das Supremum muss aber nicht ein Element in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sein. Meintest du das?

13.11.2022, 11:18

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry war unglücklich gewählt, durch die Elemente in C wird die obere Schranke gewählt, aber somit muss ja das Supremum nicht zwangsläufig in C sein, weil es ja nur die kleinste obere Schranke ist und diese ja auch außerhalb von C liegen kann.

13.11.2022, 11:49

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann passt alles Freude

Freude

13.11.2022, 11:51

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen vielen Dank smile

smile

Freude

Freude

13.11.2022, 11:57

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtiger Nachtrag: Die Aussage ist falsch, wenn $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ leer ist. Das ist aber ein Fehler in der Aufgabenstellung. Das muss noch gefordert werden.

13.11.2022, 13:07

txm03

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso stimmt, bei uns in der Definition werden Supremum und Infimum als nicht leer definiert. Dankeschön

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »