Funktionsgleichung aufstellen und Maximum

12.11.2022, 18:25

anneliese0

Funktionsgleichung aufstellen und Maximum

Meine Frage:
Also, ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Beim Kugelstoßen wird die Flugbahn der Kugeldurch eine Funktion zweiten Grades bestimmt. Die Abwurfhöhe liegt bei 2,20m und die Wurfweite bei 19,5m. Die maximale Höhe der Kugel ist 9m.
Nun sollen wir den Abwurfwinkel bestimmen, wozu ja erst einmal das Maximum ausgerechnet werden muss.

Meine Ideen:
Meine Frage ist nun, wie genau ich hier die Funktionsgleichung aufstellen und das Maximum berechnen kann, wenn ich bei der Höhe nur den y-Wert, also 9 gegeben habe. Bisher hatte ich bei solchen Aufgaben immer den x-Wert gegeben, was das Berechnen des Maximums natürlich einfacher macht.
Meine bisherigen Ansätze zum Aufstellen der Funktionsgleichung, die die Flugbahn beschreibt, sind:
f(19,5)=0
f(0)=2,2

Leider weiß ich nun aber nicht mehr weiter. unglücklich

Könnte mir jemand weiterhelfen?

12.11.2022, 18:37

klauss

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RE: Funktionsgleichung aufstellen und Maximum
Du könntest z. B. mit der Scheitelpunktsform der Parabel
$\begin{eqnarray*} y=a\left(x-x_{S} \right)^{2}+y_{S} \end{eqnarray*}$
die Unbekannten $\begin{eqnarray*} a,~x_{S} \end{eqnarray*}$ berechnen, da Du 2 Punkte kennst sowie $\begin{eqnarray*} y_{S} \end{eqnarray*}$ .

12.11.2022, 19:09

anneliese00

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RE: Funktionsgleichung aufstellen und Maximum
Dankeschön. smile

Nur leider weiß ich gerade nicht, welchen Wert ich genau für x einsetzen muss. traurig

12.11.2022, 19:13

klauss

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RE: Funktionsgleichung aufstellen und Maximum
Für $\begin{eqnarray*} x,~y \end{eqnarray*}$ setzt Du natürlich zweimal die bekannten Punktkoordinaten ein. Somit hast Du 2 Gleichungen zur Bestimmung von 2 Unbekannten.

13.11.2022, 13:40

andyrue

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RE: Funktionsgleichung aufstellen und Maximum
die aufgabe ist etwas kniffliger als sie auf den ersten blick erscheint.

und die lösung von klauss ist die naheliegendste.

man kann auch den ansatz wählen y = ax^2 + bx + 2,2

dann ist die ableitung y' = 2ax + b

das maximum ist dort, wo die ableitung null ist, also bei -b/(2a), wir wissen dass an dieser stelle der y-wert 9 ist.

nun hat man zwei punkte, die man in die funktionsgleichung einsetzen kann:

(19,5|0) und ( -b/(2a) |9)

.. das ganze gibt ne ziemliche rechnerei (anhang), aber ich hab's nachgeprüft ... dürfte stimmen

und mit der funktionsgleichung ist der abwurfwinkel dann ein klacks

13.11.2022, 18:57

klauss

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RE: Funktionsgleichung aufstellen und Maximum

Zitat:

Original von andyrue
die aufgabe ist etwas kniffliger als sie auf den ersten blick erscheint.

Stimmt, ich hatte die Aufgabe zuerst gar nicht selbst durchgerechnet, aber man kommt hin. Wobei man, um die Nullstelle zu treffen, noch genauer angeben könnte:
$\begin{eqnarray*} y=-0,08269845x^{2}+1.499799263x+2,2 \end{eqnarray*}$

14.11.2022, 10:07

HAL 9000

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Mein Physiklehrer hat mir (vor nunmehr fast vierzig Jahren) beigebracht, das Problem möglichst weit mit den Variablen durchzurechnen statt schon voreilig irgendwo zwischendurch mit den gegebenen Werten rumzurechnen. Daran halte ich mich im folgenden.

Physikalisch sauber aufgesetzt ergibt sich folgendes Weg-Zeit-Gesetz (in zwei Komponenten) der Flugbahn:

$\begin{eqnarray*} x(t) = v_x t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = y_0 + v_y t - \frac{g}{2}t^2 \end{eqnarray*}$

mit Anfangshöhe $\begin{eqnarray*} y_0 = 2.20m \end{eqnarray*}$ sowie Anfangsgeschwindigkeitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{v}_0 = \left(v_x,v_y\right)^T \end{eqnarray*}$ der Kugel - der ist (als Zwischenresultat) zu bestimmen. Denn mit $\begin{eqnarray*} v_x=v_0\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_y=v_0\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ kann man anschließend via $\begin{eqnarray*} \frac{v_y}{v_x} = \tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ den Abwurfwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmen.

1) Aus der maximalen Flughöhe $\begin{eqnarray*} y_m = 9m \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_m \end{eqnarray*}$ bekommt man via $\begin{eqnarray*} y'(t) = v_y - gt \end{eqnarray*}$ sowie Bedingung $\begin{eqnarray*} y'\left(t_m\right) =0 \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} t_m = \frac{v_y}{g} \end{eqnarray*}$ und somit aus $\begin{eqnarray*} y\left(t_m\right) = y_m = y_0 + \frac{v_y^2}{2g} \end{eqnarray*}$ schließlich Formel $\begin{eqnarray*} v_y^2 = 2g\left(y_m-y_0\right) \end{eqnarray*}$ .

2) Wurfweite $\begin{eqnarray*} s=19.5m \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_e \end{eqnarray*}$ bedeutet mit $\begin{eqnarray*} y\left(t_e\right)=0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} y_0 + v_y t_e - \frac{g}{2}t_e^2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Hier kann man nun via $\begin{eqnarray*} s = x\left(t_e\right) = v_x t_e \end{eqnarray*}$ die Variable $\begin{eqnarray*} t_e \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ersetzen und bekommt für $\begin{eqnarray*} v_x \end{eqnarray*}$ die eine quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} v_x^2 + \frac{v_y s}{y_0} v_x - \frac{gs^2}{2y_0} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und da nur die positive Lösung zählt ist $\begin{eqnarray*} v_x = \frac{s}{2y_0} \left[ \sqrt{v_y^2 + 2gy_0} - v_y\right] \end{eqnarray*}$ .

3) Einsetzen von 1) und 2) sowie Vereinfachen ergibt $\begin{eqnarray*} \tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{2y_0}{s\left[ \sqrt{\frac{y_m}{y_m-y_0}} - 1\right]} \end{eqnarray*}$ .

Konkret mit $\begin{eqnarray*} y_0 = 2.20m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_m = 9m \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} s=19.5m \end{eqnarray*}$ führt das hier zu $\begin{eqnarray*} \alpha\approx 56.3^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Und das völlig unabhängig von der Erdbeschleunigung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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