Monotone Folge -> Teilfolge auch monoton

13.11.2022, 19:51

haro21

Monotone Folge -> Teilfolge auch monoton

Meine Frage:
Hallo, wie kann ich zeigen, dass Teilfolgen von monotonen Folgen auch wieder monoton sind?

Meine Ideen:
Leider keine Idee

13.11.2022, 20:09

Helferlein

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Was willst Du da zeigen? Wenn die Folge monoton ist ändert das doch nichts, wenn man einzelne Glieder weglässt.

13.11.2022, 20:25

haro21

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Ehm ja, wir sollen diese Eigenschaft beweisen. Wie soll ich das beweisen Big Laugh

Die Lösung meines Profs. sieht wie folgt aus (siehe Bild), aber verstehe die Lösung nicht..

13.11.2022, 20:50

Helferlein

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Er hat das, was ich oben schon erwähnte, formalisiert.
Aufgrund der Monotonie sind alle Folgeglieder mit einem größeren Index auch grösser(bzw. kleiner bei monoton fallend). Daher kann man Indizes weglassen ohne die Monotonie zu verlieren.

13.11.2022, 20:59

haro21

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Wie kann man denn aber diese Induktion beweisen?

13.11.2022, 21:14

Helferlein

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So wie man Induktion immer durchführt.
Zeige $\begin{eqnarray*} a_2 \geq a_1 \end{eqnarray*}$ , nimm dann an, dass $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_1 \end{eqnarray*}$ und folgere daraus unter Ausnutzung der Monotonie dass auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_1 \end{eqnarray*}$

13.11.2022, 21:18

haro21

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Ja aber nach welcher Variable führen wir die Induktion?

14.11.2022, 08:44

HAL 9000

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Es ist bei fest gehaltenem (!) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Vollständige Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ .

14.11.2022, 18:34

Helferlein

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Dank HALS Hinweis, hier noch die korrigierte Version der Induktion, denn natürlich reicht das, was ich oben zeigen wollte, nicht für die in der Aufgabe getroffene Aussage.

Zitat:

Original von Helferlein
So wie man Induktion immer durchführt.
Zeige $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$ , nimm dann an, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+k}\geq a_n \end{eqnarray*}$ und folgere daraus unter Ausnutzung der Monotonie dass auch $\begin{eqnarray*} a_{n+k+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$

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