Wetterwahrscheinlichkeit 10 Jahre

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Mathenoob17364 Auf diesen Beitrag antworten »
Wetterwahrscheinlichkeit 10 Jahre
Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Anja beobachtet jeden Tag das Wetter und kam zum Schluss, dass in 75% der Fällen auf einen Regentag ein erneuter Regentag stattfindet und in 80% der Fälle auf einen Sonnentag ein erneuter Sonnentag stattfindet. Wie wie viele Sonnentage erlebt Anja insgesamt in 10 Jahren (in % angeben)?

Meine Ideen:
ich habe keine Ahnung wie genau ich das machen soll. Ich hab mir ein kleines Baumdiagramm gezeichnet und mal für unterschiedliche Anzahl an Tagen mir die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Sonnentag ausgerechnet, aber ich glaube das hilft mir nicht unbedingt weiter. Ich verstehe auch die Frage nicht so ganz. Kann jemand mir helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier um eine Markov-Kette mit den beiden Zuständen "Regentag" und "Sonnentag". Was du letztlich von dieser Kette bestimmen musst ist deren stationäre Verteilung.
G161122 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll man da ohne konkrete Zahlenangaben rechnen?
Wir wissen nichts Konkretes über irgendeine Tageszahl in irgendeinem Jahr. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Konkret rechnen ist mit einem kleinen Computer kein Problem. Beginne am 1. Januar 2010 mit einem Sonnentag und rechne 10 Jahre durch. Zaehle die Sonnen- und Regentage. Wenn du das Ergebnis absichern willst, starte zusätzlich mit einem Regentag.

Nachtrag. Der Tipp von HAL 9000 ist besser. Man lese "stationäre Verteilung" bei Wikipedia.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas näher ausgeführt: Man betrachte die einfache Markovkette mit den beiden Zuständen 1=Regentag sowie 2=Sonnentag. Da kann man der Aufgabenstellung die Übergangsmatrix entnehmen.

Ausgehend von einer Startverteilung kann man nun sukzessive über die Verteilung an den Folgetagen berechnen - wenn es sein muss auch 10 Jahre.

Kann man wirklich mal durchrechnen für verschiedene Startverteilungen, z.B. für die beiden von Elvis vorgeschlagenen "Start mit Sonnentag" oder "Start mit Regentag" oder auch irgendwas dazwischen. Dann wird man feststellen, dass sich die Verteilung nach ca. zwei bis drei Wochen schon sehr genau auf eine bestimmte Verteilung einpendelt, eben jene stationäre Verteilung . Die muss die Gleichung erfüllen.

Hier bei nur zwei Zuständen ist die Rechnung besonders einfach: Es ist ja mit dem von uns gesuchten langfristigen Sonnentaganteil (und damit automatisch Regentaganteil ). Die zweite Komponente der Stationaritätsgleichung ausgeschrieben heißt dann schlicht

, umgestellt

Der Zeithorizont ist mit 10 Jahren deshalb so groß gewählt, weil sich die leichten Unterschiede durch verschiedene Startbedingungen Sonnentag/Regentag dann kaum mehr auswirken.

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Wenn man will, kann man den Einfluß der Startverteilung auf den Sonnentaganteil in diesem sehr einfachen Modell aber auch EXAKT ausrechnen ("exakt" natürlich bezogen auf den Erwartungswert, nicht auf die konkrete Zufallsausprägung): Wir betrachten (ähnlich oben) die Sonnentagswahrscheinlichkeit an Tag . Dann ist . Mit "Trick 17" bekommen wir damit

und damit letztlich . Der gesamte erwartete Sonnentagsanteil beim Zeithorizont Tage ist damit exakt



D.h., die absolute Abweichung von ist selbst im worst-case aller zu betrachtenden Startwerte (der liegt bei , also Start mit Regentag) kleiner als . Bei 10 Jahren mit ist , also Abweichung erst in der zweiten Nachkommastelle der Prozentzahl.
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