Beweise mittels Implikation

16.11.2022, 09:26

MMchen60

Beweise mittels Implikation

Liebe Forumsgemeinde,
könntet ihr mir bitte einen Tipp für den Lösungsweg der Aufgabe im Anhang geben? Ich beschäftige mich derzeit autodidaktisch mit dem Thema und komme leider nicht selbst drauf. Danke für Antwort.

16.11.2022, 09:51

HAL 9000

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Das hängt natürlich entscheidend davon ab, welche Regeln zum äquivalenten Umformen von Ungleichungen du kennst bzw. verwenden darfst. Jedenfalls kann man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ äquivalent umschreiben in $\begin{eqnarray*} 0<b-a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 < b^2-a^2 = (b-a)(b+a) \end{eqnarray*}$ . Zusätzlich ist ja allgemein noch $\begin{eqnarray*} a>0,b>0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt - also mal überlegen, ob und was man damit anfangen kann.

Was den zweiten Teil (die Suche nach dem Gegenbeispiel) betrifft sollte wohl klar sein, dass man da bei den negativen Zahlen suchen muss - und da sollte man auch schnell fündig werden.

18.11.2022, 07:49

MMchen60

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Hallo HAL9000, danke für die Info. Ich habe das mal aufgestellt, siehe Anhang. Reicht das als Beweis oder fehlt da noch etwas?
Grüße Meinolf

18.11.2022, 08:34

Elvis

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. Habe mich geirrt.

18.11.2022, 09:45

Finn_

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Zu a). Da fehlt immer noch der letzte Schritt, nämlich wie man von $\begin{eqnarray*} 0<b-a \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0<(b-a)(b+a) \end{eqnarray*}$ kommt. Genutzt werden dürfen doch die Anordnungsaxiome. Darin enthalten ist das Monotoniegesetz der Multiplikation, auch Verträglichkeit mit der Multiplikation genannt.

Die Formulierung ist so lala; es fehlen bei den Äquivalenzumformungen zumindest die Äquivalenzzeichen. Zumindest bei B sind Äquivalenzzeichen notwendig, weil bei dieser Formulierung von unten nach oben auf $\begin{eqnarray*} a^2<b^2 \end{eqnarray*}$ geschlossen wird. Weiterhin würde ich $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht explizit erwähnen, da der Beweis allgemein für $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray*}$ funktioniert.

Die strenge, fast formale Beweisführung verläuft folgendermaßen.

Nr. {Abhängigkeiten} Aussage (abgeleitet aus)
1. {1} $\begin{eqnarray*} \quad 0<a\qquad \end{eqnarray*}$ (Annahme)
2. {2} $\begin{eqnarray*} \quad 0<b\qquad \end{eqnarray*}$ (Annahme)
3. {3} $\begin{eqnarray*} \quad a<b\qquad \end{eqnarray*}$ (Annahme)
4. {3} $\begin{eqnarray*} \quad 0<b-a\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 3)
5. {1} $\begin{eqnarray*} \quad b<b+a\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 1)
6. {1, 2} $\begin{eqnarray*} \quad 0<b+a\qquad \end{eqnarray*}$ (per Transitivität aus 2, 5)
7. {1, 2, 3} $\begin{eqnarray*} \quad 0<(b-a)(b+a)=b^2-a^2\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 4, 6)
8. {1, 2, 3} $\begin{eqnarray*} \quad a^2<b^2\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 7)
9. {1, 2} $\begin{eqnarray*} \quad a<b\Rightarrow a^2<b^2\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 8, tilgt 3)

Alternativ ginge auch:

1. {1} $\begin{eqnarray*} \quad 0<a\qquad \end{eqnarray*}$ (Annahme)
2. {2} $\begin{eqnarray*} \quad 0<b\qquad \end{eqnarray*}$ (Annahme)
3. {3} $\begin{eqnarray*} \quad a<b\qquad \end{eqnarray*}$ (Annahme)
4. {1, 3} $\begin{eqnarray*} \quad a^2<ab\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 1, 3)
5. {2, 3} $\begin{eqnarray*} \quad ab<b^2\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 2, 3)
6. {1, 2, 3} $\begin{eqnarray*} \quad a^2<b^2\qquad \end{eqnarray*}$ (per Transitivität aus 4, 5)
7. {1, 2} $\begin{eqnarray*} \quad a<b\Rightarrow a^2<b^2\qquad \end{eqnarray*}$ (aus 6, tilgt 3)

18.11.2022, 17:42

MMchen60

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Zitat:

Original von Finn_
Die strenge, fast formale Beweisführung verläuft folgendermaßen.

Hallo Danke, OK. Du beziehst dich da auf den direktem Beweis nach a). Verstanden. Wie sieht es aber mit b) Implikation aus?
Meinolf

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