Welche der Quadrupel sind Vektorräume

16.11.2022, 12:23

TryingToUnderstand

Welche der Quadrupel sind Vektorräume

Meine Frage:
Hallo mal wieder,

Heute habe ich eine Aufgabe, bei der ich nur um Feedback über die Vollständigkeit meiner Beweise bitten möchte.

Sie geht wie folgt:

Welche der folgenden Quadrupel sind Vektorräume? Beweisen Sie ihre Antwort.

(a) (V, 0, +, ·) über einem Körper K, wobei $\begin{eqnarray*} V := {(x, y) \in K^{2}| x + y = 0} \end{eqnarray*}$ und "+" sowie "·" die von K2 eingeschränkten Verknüpfungen seien.

(b) $\begin{eqnarray*} (Q, 0_{Q}, +_{Q}, \cdot_{Q|Z x Q}) \end{eqnarray*}$ über Z.

(c) (V, 0, +, ·) über R, wobei $\begin{eqnarray*} V := {(x, y) \in R^2| x^2 + y^2 = 1} \end{eqnarray*}$ und "+" sowie "·" die von R2 eingeschränkten Verknüpfungen seien.

(d) $\begin{eqnarray*} (R_{>0}, 1_{R}, \oplus, \otimes) \end{eqnarray*}$ über R zusammen mit den folgenden Verknüpfungen:

$\begin{eqnarray*} \oplus: R_{>0} x R_{>0} -> R_{>0} => x \oplus y := x * y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \otimes: R_{>0} x R_{>0} -> R_{>0} => \lambda \otimes x := x^{\lambda} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu meinen Ansätzen:

Insgesamt habe ich, dass a und b VR sind, während c und d keine sind.

a) VR, da 0 enthalten (Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in K^2. x=y=0 => x+y=0) \end{eqnarray*}$ und die Summe zweier Elemente ist enthalten (per Def. von V).

b) VR, da 0 enthalten (per Def.) und die Summe zweier Elemente ist enthalten
(Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in Z => x +_{Q} y = x + y \end{eqnarray*}$ , Da jedes Element von Z in Q

c) Kein VR, weil 0 nicht enthalten, da für $\begin{eqnarray*} x,y \in R^2 : x=y=0 x^2+y^2 = 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

d) Kein VR, weil 0 nicht enthalten, da mit $\begin{eqnarray*} x,y \in R_{>0} \end{eqnarray*}$ per Def.: $\begin{eqnarray*} R_{>0} := {x \in R | x > 0} \end{eqnarray*}$ x und y nicht 0 werden können und somit schon $\begin{eqnarray*} x * y \neq 0 \end{eqnarray*}$ wird.

Ich bedanke mich schonmal für jedes Feedback Big Laugh

16.11.2022, 13:35

IfindU

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a) Es fehlt die Begründung, dass skalare Vielfache von Vektoren wieder in V sind
b) Vektorräume sind per Definition nur über Körper definiert. Schau dir die Bedingung an.
c) Stimmt.
d) Die Null, das neutrale Element bzgl. der Addition, des Vektorraums muss nicht die reelle Zahl 0 sein. Und das ist sie hier auch nicht, es gibt aber eine andere reelle Zahl, welche die Rolle übernimmt.

Edit: Es steht sogar in der Aufgabe was das neutrale Element ist.

16.11.2022, 15:21

TryingToUnderstand

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Also erstmal Danke für das Feedback Freude

Zu a): Reicht es dann aus, wenn ich z.B Lambda aus R definiere, es mit x oder y multipliziere und zeige, dass das Ergebnis wieder in R liegt ? (Bei den skalaren Beweisen bin ich mir immer unischer)

Zu b): Ich dachte dass das vielleicht ein Schreibfehler war in der Aufgabe, deswegen hab ichs ignoriert. Scheint dann aber Absicht gewesen zu sein, also kein VR. (Danke für den Hinweis Big Laugh

)

16.11.2022, 15:28

IfindU

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RE: Welche der Quadrupel sind Vektorräume

Zitat:

Original von TryingToUnderstand
(a) (V, 0, +, ·) über einem Körper K, wobei $\begin{eqnarray*} V := {(x, y) \in K^{2}| x + y = 0} \end{eqnarray*}$ und "+" sowie "·" die von K2 eingeschränkten Verknüpfungen seien.

Du musst $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ nehmen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda v \in V \end{eqnarray*}$ . Hier wäre $\begin{eqnarray*} v = (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x +y = 0 \end{eqnarray*}$ . An keiner Stelle ist hier von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Rede! Die Multiplikation $\begin{eqnarray*} v \cdot w \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ ist hier nicht einmal definiert d.h. das kann gar nicht gemeint sein. Es ist aber $\begin{eqnarray*} \lambda v \end{eqnarray*}$ "kanonisch" definiert mit $\begin{eqnarray*} \lambda v = \lambda (x,y) = (\lambda x, \lambda y) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda x, \lambda y \end{eqnarray*}$ die Multiplikation in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist.

16.11.2022, 15:58

TryingToUnderstand

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RE: Welche der Quadrupel sind Vektorräume
Sorry, ich glaub ich komm nicht auf die Lösung:

Was ich gemacht hätte ist: Wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda x, \lambda y) \in K => (\lambda x + \lambda y) \in K \end{eqnarray*}$ mit Distributiv: $\begin{eqnarray*} \lambda * (x + y) = \lambda * (0) = 0 \in V \end{eqnarray*}$ , aber das sieht für mich zumindest nicht richtig aus unglücklich

16.11.2022, 16:02

IfindU

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RE: Welche der Quadrupel sind Vektorräume
Sieht gut aus, bis auf Formalien.

Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v = (x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda v = (\lambda x, \lambda y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\lambda x) + (\lambda y) = \lambda ( x+ y) = \lambda \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lambda v \in V \end{eqnarray*}$ .

16.11.2022, 16:07

TryingToUnderstand

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RE: Welche der Quadrupel sind Vektorräume
Ah, sehr gut Big Laugh

Dann vielen Dank an dich, für deine Hilfe Wink

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