Sum_{k=1..oo} 1/k^x = x

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Justice Auf diesen Beitrag antworten »
Sum_{k=1..oo} 1/k^x = x
Hallo zusammen

Für:

Erhält man: (ist das ein Grenzwert? oder nur eine "normale" Lösung? )

Für:

Erhält man die einmalige Lösung: x=1.83377...

Ist das nun jetzt nicht eine spezielle Konstante in der Mathematik?

Anscheinend für die menschliche Mathematische Community nicht. Aber wieso?


Und:
Wieso gibt es kein OEIS.org für Konstanten? Ich gebe die ersten ziffern einer Konstante in ein Suchfeld, und die webseite zeigt gefundene Beiträge/Formeln an.


Danke jetzt schon mal fürs Antworten! Big Laugh

Gruss
Nureis
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste ist ein altbekannter Grenzwert (Euler 1735). Das zweite ist ein Fixpunkt der Riemannschen Zetafunktion (gibt es noch mehr davon ?). Interessiert nicht nur Mathematiker sondern auch Physiker : https://www.mb-schiekel.de/zetafunc.pdf.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Danke Elvis!

Ist die Summe bis Unendlich , das Resultat wirklich ein Grenzwert? Oder ein "normales" Resultat?

Mit "normal" meine ich wie die 2 bei: 1 + 1 = 2.

Wen ich ein Limes verwenden muss, dann ist mein Resultat ja ein Grenzwert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justice
Ist die Summe bis Unendlich , das Resultat wirklich ein Grenzwert? Oder ein "normales" Resultat?

Eine solche Unterscheidung gibt es für reelle Zahlen nicht:

2 kann ein "normales" Resultat sein gemäß deiner Einstufung 1+1 aber auch ein Grenzwert , insofern ist deine Frage kaum sinnvoll.

Vielleicht meinst du ja, ob das Ergebnis rational oder irrational ist, im letzteren Fall womöglich auch noch mit Unterscheidung algebraisch oder transzendent. Wird wohl schwer zu beantworten sein.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Falls sich die Frage von Justice auf bezog, dann ist es ein "altes" Resultat, dass die Zahl transzendent ist (und damit auch irrational). Bei dem Fixpunkt der Zeta-Funktion kann ich nur energisch mit den Schultern zucken und behaupte es ist keine ganze Zahl. Alles andere (rational, algebraisch, transzendent) wird super schwer.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis, HAL 9000 & IfindU


Was erzählt man sich in der Mathematik über Fixpunkte? Haben die überhaupt keine Relevanz in irgend einem Feld der Mathematik? Sind das ganz "normale" Werte wie Nullstellen eines beliebigen Polynoms? Einfach ein Resultat einer Gleichung...

Oder gibt es einen Fixpunkt der Bekannt ist für seine relevanz in der Mathematik?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Die Fixpunktsätze von Banach, Schauder und Brouwer gehören zu den wichtigsten Theoremen der Mathematik.
2. Das Studium der Möbiustransformationen hängt sehr eng mit der Kenntnis ihrer Fixpunkte zusammen.
3. Die Theorie der Nullstellen von Polynomen nennt sich algebraische Zahlentheorie. Zusammen mit elementarer, analytischer und algorithmischer Zahlentheorie hat man schon "fast" die ganze Mathematik verstanden. Mit anderen Worten: Wer nichts von Zahlen versteht, versteht nichts von Mathematik.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Erzählung über Fixpunkte (Remmert / Schumacher, Funktionentheorie 2, Einleitung zu 8.4 "Isotropiegruppen einfach zusammenhaengender Gebiete" in Kapitel 8 "Der Riemannsche Abbildungssatz")

Die Automorphismengruppe Aut G aller biholomorphen Abbildungen eines Gebietes G auf sich enthält wichtige Informationen über die Funktionentheorie von G. Zwei Gebiete G, G' sind höchstens dann biholomorph aufeinander abbildbar, wenn ihre Gruppen Aut G, Aut G' isomorph sind. Neben Automorphismen studiert man innere Abbildungen von G, das sind holomorphe Abbildungen von G in sich. Die Menge Hol G aller inneren Abbildungen von G ist bezüglich der Komposition von Abbildungen eine Halbgruppe mit Aut G als Untergruppe.
Für jeden Punkt a aus G ist die Menge Hol_a G aller inneren Abbildungen von G mit a als Fixpunkt eine Unterhalbgruppe von Hol G. Die Menge Aut_a G der Automorphismen von G mit Fixpunkt a ist eine Untergruppe von Hol_a G; man nennt Aut_a G auch die Isotropiegruppe von G zu a. Für das Studium von Hol_a G und Aut_a G ist die Abbildung fundamental. Sie ist multiplikativ (Kettenregel) :, insbesondere induziert einen Automorphismus der Gruppe Aut_a G in die multiplikative Gruppe .

Nachtrag: Hieß "Isotropiegruppe" früher auch mal "Standgruppe", eventuell weil der "Fixpunkt" "stehen bleibt" ? Der Begriff kommt jedenfalls bei Gruppenoperationen häufig vor.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis, konnte jetzt beim letzten Beitrag nicht mehr Folgen, aber es ergibt sich für mich dennoch ein Bild.
Big Laugh
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