Konvergenz Folge

16.11.2022, 22:09	Maja7	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Folge Meine Frage: Wie kann ich mithilfe der Epsilon Definition der Konvergenz beweisen, dass diese Folge $\begin{eqnarray} a_n= \frac{20^n}{n!} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert, sprich $\begin{eqnarray} \left\| \frac{20^n}{n!} \right\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dadurch, dass log und Differentialrechnung noch nicht in der Vorlesung eingeführt wurde komme ich mithilfe von Umformungen oder sonstigem nicht wirklich ans Ziel
16.11.2022, 22:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{20^{n+1}n!}{(n+1)!20^n} = \frac{20}{n+1} \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} n\geq 39 \end{eqnarray}$ bedeutet das $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ bzw. umgestellt $\begin{eqnarray} a_{n+1}\leq \frac{1}{2}\cdot a_n \end{eqnarray}$ , und dass (fortgesetzt angewandt) dann auch $\begin{eqnarray} a_n\leq \frac{1}{2^{n-39}}\cdot a_{39} \end{eqnarray}$ für diese $\begin{eqnarray} n\geq 39 \end{eqnarray}$ . Das sollte helfen.
16.11.2022, 22:31	Maja7	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, hat sehr geholfen. Schönen Abend noch

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