Reihen

17.11.2022, 07:52

maths4u

Reihen

Hallo!

Es handelt sich wieder um Reihen, habe dazu weitere Aufgaben gelöst bzw. versucht zu lösen. Die d) habe ich hinbekommen, aber bei e) hatte ich Schwierigkeiten. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{3}} und \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ konvergieren, aber wie kann ich das zeigen? Ich hab hier versucht das Wurzelkriterium anzuwenden, aber kam leider nicht weiter. Stimmt der Ansatz überahupt?

17.11.2022, 19:10

klauss

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RE: Reihen
Die d) ist im Ergebnis richtig, es gilt aber wieder mein Hinweis, den ich hier angebracht habe.
Die (harmonische) Vergleichsreihe ist eben nicht für k=0 definiert. Sogar die gegebene Reihe ist für k=0 selbst 0, weshalb man den ersten Summanden direkt weglassen kann.
Ansonsten mußt Du beim Aufschrieb ggf. so einen Summanden rausziehen, was aber für die Divergenz keinen Unterschied macht.

Bei e) müßte es normalerweise genügen, wenn man bestimmte Regeln und Vergleichsreihen als bekannt verwenden darf, sonst würden ja Abschätzungen von Haus aus gar nicht funktionieren. Wenn man also wie hier eine Reihe hat, die sich aus 2 absolut konvergenten zusammensetzen läßt, sollte das als Argument genügen.
Was Du letztlich wirklich voraussetzen darfst, mußt Du natürlich selbst wissen, sonst wären die Aufgaben deutlich aufwendiger.

18.11.2022, 16:26

maths4u

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Danke für deine Rückmeldung Klauss!

Also dann kann ich ja die ganzen Berechnungen bei d) weglassen und stattdessen "für k=0 nicht definiert" hinschreiben, oder?
Bei e) wollte ich das Majorantenkriterium anwenden, aber wusste nicht wie genau ich da vorgehen soll. Kann ich da überhaupt das Majorantenkriterium anwenden? Wenn ja, wie genau müsste ich da vorgehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{3}} + \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k!} + \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Macht das überhaupt Sinn?

18.11.2022, 17:44

klauss

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Zitat:

Also dann kann ich ja die ganzen Berechnungen bei d) weglassen und stattdessen "für k=0 nicht definiert" hinschreiben, oder?

Nein, so war das nicht gemeint. Natürlich mußt Du abschätzen, aber man hätte von vornherein schreiben können
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k^{2} }{2k^{3}+1 } =\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k^{2} }{2k^{3}+1 } \end{eqnarray*}$
und das ist dann im weiteren $\begin{eqnarray*} \geq \frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Hättest Du eine Reihe, die für k=0 definiert und ungleich 0 ist und Du willst gegen Reihe abschätzen, die erst z. B. ab k=1 definiert ist, ginge z. B.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } a_{k}=a_{0}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k} \geq ...\geq a_{0}+\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
Jedenfalls darfst Du dem Prüfer keinesfalls ein ernstgemeintes
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
vorsetzen.

Bei der e) würde ich überhaupt keine Abschätzung machen, denn da gilt mit grundlegenden Rechenregeln
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^{3} } +\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k!}=\sum\limits_{k=1}^{\infty } \left(\frac{1}{k^{3} } +\frac{1}{k!} \right) \end{eqnarray*}$

19.11.2022, 21:05

maths4u

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Ich schau mir das genauer an und melde mich bei Fragen, vielen Dank klauss!

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