Cauchy Produkt von zwei geometrischen Reihen

17.11.2022, 10:59	Chicko321	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy Produkt von zwei geometrischen Reihen Meine Frage: Hallo zusammen, habe die folgende Aufgabe (siehe Bild). Ich habe auch die Lösung dazu, allerdings verstehe ich die vorletzte Gleichung nicht. Also wie wird von k,m plötzlich i und j? Meine Ideen: Leider keine Idee..
17.11.2022, 11:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt von zwei geometrischen Reihen Man könnte es über Indexshift begründen. Allerdings ist der ganze Schritt unnötig. Es ist $\begin{eqnarray} \frac 5 2 = \frac 1 { 1 - \frac 1 2} \cdot \frac 1 { 1 - \frac 1 5} = \sum_{i =0}^\infty 2^{-i} \sum_{j =0}^\infty 5^{-j} = \sum_{i,j =0}^\infty 2^{-i}\cdot 5^{-j} \end{eqnarray}$ .
17.11.2022, 11:56	Chicko321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt von zwei geometrischen Reihen Achso, danke. Meinst du mit latex] \sum\limits_{i,j=1}^{\infty } 2^{-i} 5^{-j} =\sum\limits_{i=1}^{\infty } \sum\limits_{j=1}^{\infty } 2^{-i} 5^{-j} = ( \sum\limits_{i=1}^{\infty } 2^{-i}) ( \sum\limits_{j=1}^{\infty } 5^{-j}) [/latex] ?
17.11.2022, 11:58	Chicko321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt von zwei geometrischen Reihen Achso, danke. Meinst du mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i,j=1}^{\infty } 2^{-i} 5^{-j} =\sum\limits_{i=1}^{\infty } \sum\limits_{j=1}^{\infty } 2^{-i} 5^{-j} = ( \sum\limits_{i=1}^{\infty } 2^{-i}) ( \sum\limits_{j=1}^{\infty } 5^{-j}) \end{eqnarray}$
17.11.2022, 12:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt von zwei geometrischen Reihen Genau, einfach Distributivgesetz.
17.11.2022, 14:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fällt in der Aufgabenstellung das Stichwort "Cauchy-Produkt", was zur Berechnung hier aber eigentlich unerheblich ist. Die dem Cauchy-Produkt eigene Umsortierung der Reihenglieder der Doppelreihe kann hier eigentlich nur dem Zweck dienen, die Summanden aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ in geeigneter Weise abzählbar aufzulisten - einen anderen Sinn sehe ich hier nicht. Die Reihenumordnung selbst ist hier kein Problem, da alle Glieder positiv sind.
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