Grenzwert (links, rechts -> beidseitig)

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Chicko321 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert (links, rechts -> beidseitig)
Meine Frage:
Hallo zusammen, wie kann ich diese Aussage beweisen? Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Vllt mit eps, delta Definition?
Chicko321 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert (links, rechts -> beidseitig)
Jemand da?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Beweise führt man, indem man u.a. Definitionen benutzt. Ein bißchen Logik hilft auch dabei.
Chicko321 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lass uns doch zunächst die eine Richtung zeigen, bitte. Also die Richtung, wo der beidseitige Grenzwert existiert und wir daraus folgern müssen, dass der links/rechtsseitige Grenzwert auch existiert:

Wenn der beidseitige Grenzwert existiert, dann gilt:

Für jede Zahl existiert eine Zahl , sodass folgendes gilt

Wenn dann .

Die Ungleichung ist gleichbedeutend mit . So jetzt weiß ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, wie der links bzw rechtsseitige Grenzwert per Epsilon, delta definiert ist. Hoffe jemand hilft mir
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der linksseitige Grenzwert existiert gdw. für alle ein existiert mit für alle ).
Der rechtsseitige Grenzwert existiert gdw. für alle ein existiert mit für alle .

Du bist in der einen Richtung so gut wie fertig, denn du kannst und aus dem linken bzw. rechten Intervall wählen.
chicko321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh okay, ich verstehe. Das bedeutet also:

Es gilt

, d.h für alle gibt es ein , sodass folgendes gilt:

, dann gilt für alle . Analog für den rechtsseitigen Grenzwert.

Passt das so?

Die andere Richtung:

Wir nehmen an, dass der links und rechtsseitige Grenzwert existiert, dass bedeutet:

Für alle gibt es ein , sodass

und für alle und


Für alle gibt es ein , sodass

und für alle .

Daraus folgt aber mit (hier wähle ich das Minimum aus damit x immer noch in den beiden Intervallen liegt, oder?), dass:


Für alle gibt es ein , sodass

und für alle .


Passt das so?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du gut gemacht. Bei der Rückrichtung ist wichtig, an passender Stelle noch einmal darauf hinzuweisen, dass nach Voraussetzung der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind, deshalb kann man hier von einem L sprechen.
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