Aufgabe zu Tangenten bzw. Normalen

17.11.2022, 22:02

Matheneik

Aufgabe zu Tangenten bzw. Normalen

Meine Frage:
Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Geländeverlaufs. In einem Koordinatensystem kann dieser durch den Graphen der Funktion f mit f(x)=-1/8xhoch3+ 3/4x²-4 für -3 < ( größer gleich)x < ( größer gleich ) 4 und durch eine waagerechte Gerade für x > 4 näherungsweise dargestellt werden (eine Einheit entspricht 100 m). Ein Ballon bewegt sich in konstanter Höhe 200 m über der Ebene in negativer x-Richtung. Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punktes auf der Ballonbahn, von dem aus man erstmals den tiefsten Punkt des Tals sehen kann.

Meine Ideen:
Ich denke man sollte aufjedenfall den Tiefpunkt berechnen

18.11.2022, 02:42

klauss

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RE: Aufgabe zu Tangenten bzw. Normalen
Hier das fehlende Bild (ergänzt) mit Vergleichsgraph:

[attach]56299[/attach]

Das erste Problem besteht darin, dass schon im Original-Schulbuch die Aufgabe einen kleinen Fehler enthält. Die Funktion muß lauten
$\begin{eqnarray*} f(x)=\textcolor{red}{-}\frac{1}{8} x^{3} +\frac{3}{4}x^{2}-4 \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist also die Gleichung der Geraden, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Tiefpunkt schneidet und zugleich Tangente am Hang ist.
Im gesuchten Punkt muß die Geradengleichung dann den Wert 2 annehmen.

19.11.2022, 01:20

mYthos

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Welchen Fehler meinst du?
Das Minus vor dem x³-Term ist in der Angabe wohl zu sehen ....

mY+

19.11.2022, 01:32

klauss

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Zitat:

Original von mYthos
Das Minus vor dem x³-Term ist in der Angabe wohl zu sehen ....

Tatsächlich habe ich es etwas später oben auch gesehen. Aber in dem Buch, aus dem das Bild zur exakt identischen Aufgabe stammt, fehlt es.
Ungeachtet dessen könnte ja nun losgerechnet werden, falls Matheneik noch Interesse hat.

19.11.2022, 01:51

mYthos

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Zitat:

Original von klauss
...
Ungeachtet dessen könnte ja nun losgerechnet werden, falls Matheneik noch Interesse hat.

Damit werden wir wohl alleine bleiben, fürchte ich.

mY+

19.11.2022, 16:42

mYthos

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Wie gesagt ... so ist es.
-----------

Für die Nachwelt füge ich jetzt noch die Rechnung ein, diese ist klassisch und wird oft nicht verstanden ...

Der Berührungspunkt auf der Kurve sei T(x1; y1), mit $\begin{eqnarray*} x_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Punkt-Richtungsform der Tangente:

$\begin{eqnarray*} y - y_1= \left(-\frac{3x_1^2} 8 + \frac {3x_1} 2 \right) \cdot (x - x_1) \end{eqnarray*}$ , der Term in der ersten Klammer ist die Steigung, die 1. Ableitung an der Stelle x1

Diese Gerade muss durch den Punkt (0; -4) gehen, also setzen wir dess Koordinaten anstatt x, y ein und damit gibt es eine Gleichung für x1

$\begin{eqnarray*} -4 + \frac 1 8 x_1^3 - \frac 3 4 x_1^2 + 4 = \frac 3 8 x_1^3 - \frac 3 2 x_1^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {3x_1^2} 4 = \frac {x_1^3} 4 \end{eqnarray*}$

Kürzen durch $\begin{eqnarray*} \frac{x_1^2} 4 \end{eqnarray*}$ , damit gehen keine Lösungen verloren, denn $\begin{eqnarray*} x_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 3; \text{ die Steigung dortselbst }m = \frac 9 8 \text{ und die Gleichung der Tangente } y = \frac 9 8 x - 4 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch y = 2 setzen, >> $\begin{eqnarray*} x = \frac{16} 3 \ \to \ P \left(\frac{16} 3;2 \right) \end{eqnarray*}$

mY+

19.11.2022, 17:25

klauss

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RE: Aufgabe zu Tangenten bzw. Normalen
Das Ergebnis stimmt natürlich. Die Verwendung der Ableitung als Steigung war ursprünglich auch mein erster Ansatz. Anschließend wurde ich mir aber gewahr, dass es für Schüler wohl deutlich bequemer ist, die Funktionsvorschriften in Form von
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} x^{3} +\frac{3}{4}x^{2}-4 =mx-4 \end{eqnarray*}$
gleichzusetzen.
Dann kürzt sich die bekannte Lösung x=0 raus und für die verbleibende quadratische Gleichung ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ so zu wählen, dass die Diskriminante 0 wird.

19.11.2022, 18:19

mYthos

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RE: Aufgabe zu Tangenten bzw. Normalen
Das ist sogar noch schöner.
Unserer beider Weg steht und fällt damit, dass sich die -4 reduzieren.

mY+

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