Irreduzible Teiler von teilerfremden Elementen im faktoriellen Ring

Neue Frage »

Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzible Teiler von teilerfremden Elementen im faktoriellen Ring
Meine Frage:
Guten Morgen an alle,
ich möchte beweisen, dass im faktoriellen Ring gleichermaßen gilt, dass zwei Elemente x und y des Rings genau dann teilerfremd im Ring sind, wenn für jedes irreduzible Element a aus dem Ring gilt, dass es weder x noch y teilt oder entweder x oder y teilt.

Meine Ideen:
- ich bin im faktoriellen Ring d. h. habe einen Integritätsbereich, eindeutige Zerlegbarkeit in Einheiten und irreduzible Elemente
- wenn x und y teilerfremd in R sind, heißt das ein ggt ist eine Einheit, d.h. Teiler des Einselementes
- wenn die a in R irreduzibel sind, heißt das sie sind Produkte aus assoziierten zu a oder Einheiten in R

Ich kenne mich mit den Begrifflichkeiten aus, kann diese auch anwenden, aber mir fehlt eine Idee für den Beweis beider Richtungen.
Ich würde mich über Beweisideen freuen.
LG, Catrin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenbeispiel: In ganzen Zahlen ist 2 kein Teiler von 3 und 5 und 2 teilt weder 3 noch 5. 3 und 5 sind teilerfremd.
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, lieber Elvis smile . Das Problem ist, dass ich nicht per konkretem Gegenbeispiel beweisen darf, sondern die beiden Richtungen der Äquivalenz für beliebige x, y und a zeigen muss (also allgemein).
VIELE GRÜßE
Catrin von Bubi
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein Gegenbeispiel existiert, kann der Satz nicht allgemein gelten, denn er gilt nicht für das Gegenbeispiel. Korrigiere die Aufgabe, beweise einen wahren Satz, einen falschen Satz kann man nicht beweisen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis Inwiefern ist das ein Gegenbeispiel? Für ein Gegenbeispiel müsstest du für ein irreduzibles Element finden, dass zeitgleich und teilt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

auch wieder wahr ... dann warten wir auf den Beweis.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: irreduzible Teiler von teilerfremden Elementen im faktoriellen Ring
Ich würde es leicht umformulieren zu
Zitat:
im faktoriellen Ring gleichermaßen gilt, dass zwei Elemente und des Rings genau dann teilerfremd im Ring sind, wenn für kein irreduzible Element aus dem Ring gilt, dass und .


"": Da teilerfremd sind, gilt nur für Einheiten , dass und . Insb. gilt es nicht für irreduzible Elemente.

"": Sei ein Teiler von . Dann ist eine Einheit oder es existiert eine (bis auf Einheiten ) eindeutige Darstellung mit alle irreduzibel und . Wir wissen also, dass kein sowohl als auch teilt. D.h. auch, dass auch nicht und teilt. Widerspruch dazu, dass beide teilt. Bleibt nur, dass eine Einheit ist.
Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: irreduzible Teiler von teilerfremden Elementen im faktoriellen Ring
Danke, das habe ich verstanden.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »