Diskrete Gleichverteilung

19.11.2022, 08:19	Alfonso45	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete Gleichverteilung Guten Morgen, Die folgende Aufgabe bereitet mir etwas Verständnisschwierigkeiten: "Die Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,7,8,9,10}. Berechnen Sie P(4 $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ X $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 7), E(X), V(X)" Es handelt sich hierbei um eine diskrete Gleichverteilung. Nun beginnt in den meisten Beispielen die Menge immer bei 1, was mir jedoch nicht wirklich hilft bei meinem Verständnisproblem. Ist die folgende Berechnung richtig: P(4 $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ X $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 7)=P(X=7)-P(x=5)=1/8-1/8=0 E(X)=(8+1)/2=4,5 V(X)=((8^2)-1)/12=5,25 Also N ist in diesem Fall 8 und nicht 10, weil wir nur 8 Ausprägungen haben, oder? Ungleichheitszeichen besser lesbar gemacht. klauss
19.11.2022, 11:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Gleichverteilung Welche Elemente in der Menge sind, ist doch zweitrangig bei bekannter Verteilung. Warum sollte das immer mit 1 beginnen? Die erste Rechnung könnte z. B. sein: $\begin{eqnarray} P(4<X \leq 7)=P(X\leq 7)-P(X\leq 4) \end{eqnarray}$ Was Du beim Erwartungswert gemacht hast, verstehe ich nicht auf Anhieb. Aber man könnte angesichts der Grundmenge im voraus ohne Rechnung eine konkrete Vermutung haben, was als Erwartungswert gefühlsmäßig rauskommen müßte, und zwar nicht 4,5. Stichwort fairer Würfel.
19.11.2022, 11:55	Alfonso45	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben bzgl. einer diskreten Gleichverteilung folgende Formeln gelernt: $\begin{eqnarray} E(x)=\frac{N+1}{2} <br /> V(x)=\frac{N^{2}-1}{12} \end{eqnarray}$ Diese Formeln habe ich mit N=8 angewandt. Daher komme ich auf einen Erwartungswert von 4,5. Ist diese N=8, denn grundsätzlich falsch?
19.11.2022, 14:26	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Gleichverteilung Diese beiden "Formeln" - die mir so bisher unbekannt waren und offenbar sich wie hier sogar schädlich auswirken können - gelten wohl für eine Grundmenge von 1 bis N. Aber die haben wir hier gerade nicht. D. h. wir können uns nun entweder auf die "übliche" Berechnungmethode von Erwartungswert und Varianz verlegen oder eine neue Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ einführen, für die gilt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist diskret gleichverteilt auf der Menge {1;2;3;4;5;6;7;8} $\begin{eqnarray} Y=X+2 \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} E(Y)=E(X)+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Var(Y)=Var(X) \end{eqnarray}$
19.11.2022, 14:39	Alfonso45	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wird sich der Erwartungswert wohl wie folgt errechnen: E(x)=1/83+1/84+1/85+...+1/810=6,5 Sofern dies richtig ist, wäre die Varianz mit der üblichen Formel auch anders. Stimmen die 6,5 als Erwartungswert zunächst?
19.11.2022, 14:57	Alfonso45	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern 6,5 als Erwartungswert richtig ist, wäre 5,25 die Varianz.
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19.11.2022, 14:59	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Gleichverteilung 6,5 ist richtig. Die Varianz kannst Du nun selbst probieren. Meine Empfehlung gerade bei ganzzahligen Werten ist, den Verschiebungssatz zu nutzen, aber mach das ruhig so wie Du meinst. Nachtrag: Ja, 5,25.

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