Potenzreihen II

20.11.2022, 08:35

maths4u

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Potenzreihen II

Hallo!

Ich habe weitere Aufgaben zu den Potenzreihen gelöst. Ich stehe wieder vor dem gleichen Problem: Wie soll ich hier erkennen, ob die Reihe konvergiert/divergiert? Gibt es da eine bestimmte Herangehensweise? Ich weiß nicht, ob der Gedankengang richtig ist, aber man könnte hier bei k) ja eine Abschätzung machen (Majoranten/Minorantenkriterium) und sagen, ob sie konvergiert/divergiert. Ich weß aber nicht, ob die Überlegung so stimmt, aber wie soll man denn anders auf die Konvergenz/Divergenz kommen? Außerdem wusste ich bei j) auch nicht, ob die Reihe für die x-Werte konvergiert/divergiert

Es gilt hier wieder: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{2} } \leq \sqrt[n]{1-\frac{3^{n} }{5^{n}} +{\frac{1^n}{5^n}}} \leq 1 \end{eqnarray*}$

20.11.2022, 12:22

klauss

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RE: Potenzreihen II
Ich nörgel diesmal nicht an dem Aufschrieb rum, obwohl es dazu einigen Anlaß gäbe, sondern gehe nur auf die Entscheidungsregel ein, die für Dich besonders wichtig ist.
Ohne dass ich den gesamten Rechenweg kontrolliere, nehmen wir an, wir wären schlußendlich angekommen bei

j)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k^{2} }{1+k^{3} } \left(1\right)^{k} =\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k^{2} }{1+k^{3} } \end{eqnarray*}$
Der Summand $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, wir haben aber den Verdacht, dass die Reihe divergiert, was wir durch Vergleich mit der harmonischen Reihe bestätigen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k^{2} }{1+k^{3} } \left(-1\right)^{k} \end{eqnarray*}$
Der Summand $\begin{eqnarray*} a_{k} \left(-1\right)^{k} \end{eqnarray*}$ ist eine alternierende Nullfolge, wir haben den Verdacht, dass die Reihe konvergiert und prüfen daher zusätzlich, ob das Leibnizkriterium greift.

k)
analog

20.11.2022, 13:43

maths4u

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Die Reihe konvergiert, weil wir eine alternierende Reihe haben und der Grenzwert hier 0 ist? Ist die Überlegung grob gesehen richtig? Und wie überprüfe ich hier, ob das Leibnitzkriterium greift? Das habe ich nicht gecheckt..

Also sobald wir eine alternierende Nullfolge haben, dann ist die Reihe komvergent.

20.11.2022, 13:51

klauss

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Die Überlegung ist nur eine Vermutung, solange sie nicht bestätigt oder widerlegt ist.
Also ist erst zu prüfen und dann zu entscheiden.
Nun mußt Du nachlesen, welche Voraussetzungen das Leibnizkriterium hat, ob es hier anwendbar ist und was daraus folgt.

20.11.2022, 15:27

maths4u

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die reihe ist alternierend, d.h., man kann hier das Leibnitzkriterium anwenden.
Die Reihe konvergiert, weil wir eine Nullfolge haben. So sieht's dann aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{k^{2}}{k^3(1+\frac{1}{k^3})}\cdot (-1)^{k} = \frac{-1^k}{k} = \frac{1}{k} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Und damit habe ich gezeigt, dass die Reihe konvergiert.

Edit: Überall fehlt wieder der limes, habe erst im Nachhinein bemerkt, dass die Schreibweise unordentlich ist.

20.11.2022, 16:02

klauss

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Also im Ergebnis richtig. Anzumerken ist, dass beim Leibnizkriterium (ohne t) das $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \left(-1\right)^{k} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein muß und das auch noch monoton! Letzteres wurde hier übergangen, ist aber erfüllt.

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20.11.2022, 16:21

maths4u

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was meinst du mit "ohne t"? Habe ich hier was übersehen?
Und woher wusste man, dass ak monoton fallend ist? Wegen 1/k , oder? Weil wenn man immer größere Werte für k einsetzt, dann wird es kleiner und somit monoton fallend, oder?

Edit: Achsoooo, das wort leibniz LOL Hammer

LOL Hammer

verstehe jetzt, was du meinst, haha

20.11.2022, 16:27

klauss

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Zitat:

Weil wenn man immer größere Werte für k einsetzt, dann wird es kleiner und somit monoton fallend, oder?

Ja, aber Monotonie muß für das Original $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ gelten. Wenn es nicht offensichtlich ist, muß das natürlich auch noch geprüft werden.

20.11.2022, 16:47

maths4u

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Wir haben Monotonie nie überprüft, deswegen habe ich überhaupt keinen Ansatz dafür verwirrt

verwirrt

Und wie sieht's mit k) aus? Da war ich sehr unsicher. Aber ich hab' da mal was probiert.

20.11.2022, 17:01

klauss

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Die k) geht im Prinzip genauso wie die j).

Was da überhaupt nirgends hingehört, ist "lim" vor den Summenzeichen.
Außerdem hast Du beim 1. Fall wieder denselben Bock reingebracht, den ich Dir hier abgewöhnen wollte.

20.11.2022, 18:38

maths4u

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Wie soll ich das genau lösen? Das habe ich noch nicht gecheckt um ehrlich zu sein. Ich hab die gleichen Rechenschritte auch hier angewandt. Und so sieht's dann aus:

20.11.2022, 19:29

klauss

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Weil Du die Notation einfach noch nicht hinkriegst, spiele ich jetzt extra mal ausführlich rum.

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{n-1}{n^{2}-n+1 } = -1+\sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{n-1}{n^{2}-(n-1) }=-1+\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(n+1)^{2}-n }\geq -1+\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(n+1)^{2} }\geq -1+\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n}{(n+n)^{2}}=-1+ \frac{1}{4} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}\Rightarrow \text{divergent} \end{eqnarray*}$

Schau da zunächst drüber und achte auf Details.
Ich entwerfe einstweilen einen Vorschlag zur Monotonie.

21.11.2022, 05:43

maths4u

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Vielen Dank, jetzt hab ich‘s verstanden.
Aber was mich noch verwirrt: In der VO haben wir auch eine Aufgabe gelöst, wo n=0 und da sind wir nicht so vorgegangen wie jetzt. Wir haben einfach ganz normal weitergerechnet. Also das ist die Rechnung vom Prof (siehe Anhang). Stimmt das tatsächlich so? Wenn ja wieso?

Edit: Ich hatte einen Denkfehler. Die Rechnung ist richtig, denn wenn wir 0 hier einsetzen, dann kommt auch 0 heraus, also das passt so. Die untere Rechnung stimmt.

21.11.2022, 12:58

klauss

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Die Aufgabe ist natürlich etwas anders, da kein n im Nenner steht und an den Rändern keine Nullfolge vorliegt.

21.11.2022, 13:13

maths4u

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Aber hat das nicht damit zu tun, dass hier eine 0 rauskommt, wenn wir n=0 einsetzen? Deswegen kann man das so rechnen, oder nicht?

21.11.2022, 14:49

klauss

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Da der Summand für n=0 selbst 0 ist, könnte man die Reihe gleich bei n=1 starten und genauso weiterrechnen.
Wie bereits von mir erwähnt, wird n=0 erst dann ein Problem, wenn Abschätzungen folgen, bei denen n=0 nicht mehr erlaubt ist. Das habe ich in meinem vorherigen Beispiel berücksichtigt.

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