Erwarteter Gewinn (faires oder unvorteilhaftes Spiel)

20.11.2022, 23:26

Mimi123

Erwarteter Gewinn (faires oder unvorteilhaftes Spiel)

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte folgendes Zeigen:
Bei der Durchführung einer Folge von unabhängigen und gleichartigen Spielrunden eines fairen oder unvorteilhaften Spiels erzielt man langfristig fast sicher keinen Gewinn.

Meine Ideen:
Es sei $\begin{eqnarray*} X_{i}:=Gewinn \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=1,...n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X_{n}) \end{eqnarray*}$ sei der erwartete Gewinn nach der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Spielrunde.
Ist $\begin{eqnarray*} E(X_n)=0 \end{eqnarray*}$ (faires Spiel), so nähert sich nach dem Gesetz der großen Zahlen, die relative Häufigkeit des Spiels bei einem großen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ) dem erwarteten Gewinn, also $\begin{eqnarray*} E(X_n)=0 \end{eqnarray*}$ an.
Ist $\begin{eqnarray*} E(X_n)<0 \end{eqnarray*}$ (unvorteilhaftes Spiel), so nähert sich nach dem Gesetz der großen Zahlen, die relative Häufigkeit des Spiels bei einem großen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ) dem erwarteten Gewinn, also $\begin{eqnarray*} E(X_n)<0 \end{eqnarray*}$ an, also einer negativen Zahl an.
Mit beiden Spielen erzielt man langfristig fast sicher keinen Gewinn.

Latex-Code korrigiert.
klauss

21.11.2022, 21:15

Mimi123

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Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist?

22.11.2022, 09:54

HAL 9000

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Leider sind deine Begriffsbildungen etwas unsauber (im Sinne: verschieden interpretierbar) formuliert - ich habe kürzlich erst erlebt, das sowas zu ewigen unnötigen Diskussionen führt. Daher stellen wir das gleich besser klar:

Mit $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ meinst du den Gewinn im $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Spiel. Daher ist $\begin{eqnarray*} E\left(X_n\right) \end{eqnarray*}$ der erwartete Gewinn im $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Spiel und damit nicht der (Gesamt-)Gewinn nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Spielen.

Dann redest du von "relativer Häufigkeit des Spiels". Ich kann nur aus den nachfolgenden Schlüssen vermuten, dass du damit $\begin{eqnarray*} Y_n = \frac{X_1+\ldots+X_n}{n} \end{eqnarray*}$ meinst. Das kann man m.E. aber nur dann als relative Häufigkeit bezeichnen, wenn die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nur 0-1-Indikatorzufallsgrößen sind (0=Spiel verloren, 1=Spiel gewonnen), für komplexere Gewinnauszahlungen ist der Begriff "Häufigkeit" schlicht unpassend.

Mit diesen Klarstellungen sind deine nachfolgenden Aussagen richtig: Gilt $\begin{eqnarray*} E\left(X_i\right)=0 \end{eqnarray*}$ und sind die Spiele untereinander unabhängig, dann folgt die Konvergenz $\begin{eqnarray*} Y_n\to 0 \end{eqnarray*}$ zumindest in Wahrscheinlichkeit (schwaches GgZ). Gilt zudem noch $\begin{eqnarray*} V\left(X_i\right)<\infty \end{eqnarray*}$ (was bei solchen Spielen i.a. der Fall sein dürfte), dann ist das sogar eine fast sichere Konvergenz (starkes GgZ).

Zitat:

Original von Mimi123
Mit beiden Spielen erzielt man langfristig fast sicher keinen Gewinn.

Das stimmt so formuliert nicht, zumindest nicht für das Spiel mit $\begin{eqnarray*} E\left(X_i\right)=0 \end{eqnarray*}$ :

Nehmen wir als Beispiel die symmetrische Verteilung $\begin{eqnarray*} P\left(X_i=-1\right) = P\left(X_i=1\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ der Einzelgewinne, dann gilt für alle ungeraden Zeithorizonte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sogar exakt $\begin{eqnarray*} P\left(Y_n < 0\right) = P\left(Y_n > 0\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , im Widerspruch zu deiner Aussage, die da sagt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P\left(Y_n>0\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Was du vielleicht meinst ist, dass man langfristig fast sicher keinen mittleren Gewinn einer vorgegebenen Mindestgröße $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ erzielen kann, in Formeln

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P\left(Y_n\geq c\right) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$

das ist was anderes, und durchaus richtig. Augenzwinkern

24.11.2022, 09:04

Mimi123

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Hallo,

erstmal vielen Dank für deine Erklärung, dass hat mir sehr geholfen.

Zitat:

Gilt zudem noch V(Xi)<∞ (was bei solchen Spielen i.a. der Fall sein dürfte), dann ist das sogar eine fast sichere Konvergenz (starkes GgZ).

Für was steht denn die Variable V?

24.11.2022, 19:42

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist hier keine Variable, sondern der Varianz-Operator.

07.12.2022, 09:26

Mimi123

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Ahh, ich verstehe. Welches starke Gesetz der großen Zahlen ist das? Kolmogorow?

07.12.2022, 11:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mimi123
Welches starke Gesetz der großen Zahlen ist das? Kolmogorow?

Guter Einwand: Nach dem zweiten Gesetz von Kolmogorow benötigt man bei unabhängig identisch verteilten $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ (so wie hier) nicht mal die Existenz der Varianz, da genügt schon Forderung $\begin{eqnarray*} E|X_1|<\infty \end{eqnarray*}$ .

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