Potenzreihen III

21.11.2022, 13:28

maths4u

Potenzreihen III

Hallo!

Es geht hier um die folgende Aufgabe. Wie muss ich hier vorgehen? Ich hab ja die k-Te Wurzel aus k! und das ergibt unendlich. Und unendlich / 2 = unendlich. Wie soll ich das genau berechnen?

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k !}{2^{k}+1}(x+3)^{k}= \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{k !}{2^{k}+1}(x+3)^{k}}<1 \end{eqnarray*}$

21.11.2022, 21:16

klauss

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RE: Potenzreihen III
Um das Aufeinandertreffen von Wurzel und Fakultät zu umgehen, habe ich es lieber mit dem Quotientenkriterium gemacht. Ergebnis ist natürlich gleich:

Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R= \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty } \end{eqnarray*}$ "

Was bedeutet das?

22.11.2022, 07:27

maths4u

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ergibt 0, d.h. wir haben eine Nullfolge, daher konvergent.
Aber warum brauchen wir hier den Konvergenzradius? Bei allen anderen Aufgaben haben wir den Konvergenzradius gar nicht gebraucht.

22.11.2022, 10:07

Elvis

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Bei Potenzreihen geht es immer um den Konvergenzradius. Innerhalb des Konvergenzkreises konvergiert die Potenzreihe, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert die Potenzreihe. Auf dem Rand des Konvergenzkreises muss man speziell untersuchen, ob die Potenzreihe konvergiert oder divergiert.

22.11.2022, 13:07

klauss

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Zitat:

Original von maths4u
ergibt 0, d.h. wir haben eine Nullfolge, daher konvergent.

Dieses Mißverständnis solltest Du zum Anlaß nehmen, nochmal zum Grundkonzept des Vorgehens nachzulesen, nämlich:
Was wird an welcher Stelle mit welchem Ziel mit welchem Werkzeug untersucht?
Es ist unabdingbar zu wissen, z. B. wann das Nullfolgenargument zieht, wie die Ergebnisse von Wurzel-/Quotientenkriterium zu deuten sind u. ä.
Es ist auch zu unterscheiden zwischen Reihen allgemein und Potenzreihen, wo neben n oder k auch noch eine Abhängigkeit von x besteht.

Zitat:

Original von maths4u
Bei allen anderen Aufgaben haben wir den Konvergenzradius gar nicht gebraucht.

"Gebraucht" ist das falsche Wort. Wir hatten Konvergenzintervalle um den Entwicklungspunkt als Lösung erhalten. Aus denen folgt der Konvergenzradius, auch wenn wir ihn nicht mehr ausdrücklich erwähnt hatten.

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