Annäherung der Lösung eines linearen Ausgleichproblems

21.11.2022, 15:32	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Annäherung der Lösung eines linearen Ausgleichproblems Meine Frage: Hey, ich habe flolgende Aufgabe bzw Teilaufgabe bei der ich nicht weiterkomme: Es ist ein lineares Ausgleichproblem $\begin{eqnarray} \min \|\|Ax - b\|\|_2 \end{eqnarray}$ gegeben. Für eine beliebige Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{m \times n} \end{eqnarray}$ , die nicht notwendigerweise vollen Rang hat, und einene Vektor $\begin{eqnarray} b \in \mathbb{R}^{m} \end{eqnarray}$ . Weiter sei für ein $\begin{eqnarray} r_k > 0, x^k \end{eqnarray}$ eine Lösung zu folgenden Normalengleichung $\begin{eqnarray} (A^{\top}A + r_k I)x = A^{\top} b \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist jetzt nun, dass für eine Folge $\begin{eqnarray} r_k \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} r_k \end{eqnarray}$ von oben gegen 0 konvergiert, die Folge der $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ gegen eine Lösung der linearen Ausgleichsgleichung $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ konvergiert. Weiter ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} x^* \end{eqnarray}$ die eindeutige Lösung mit kleinster Euklidischer Norm ist. Dazu ist ein Hinweis gegeben: Man soll zunächst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|\|x^k\|\|_2 \le \|\|x\|\|_2 \end{eqnarray}$ für alle k gilt, wobei x eine beliebige Lösung, des linearen Ausgleichsproblems ist. Meine Ideen:* Ich habe mit dem Hinweis Angefangen und erstmal geziegt, dass $\begin{eqnarray} x^k = A^{\top}b (A^{\top} A + r_k I)^{-1} \end{eqnarray}$ gilt (also dass die Inverse auch tatsächlich existiert). Dann wollte ich das ganze irgendwie abschätzen komme da aber nicht so recht weiter. Folgendes habe ich: $\begin{eqnarray} \|\|x^k\|\|_2 = \|\| A^{\top}b (A^{\top} A + r_k I)^{-1} \|\|_2 \le \|\|A^{\top}A\|\|_2 \|\|x\|\|_2 \|\|(A^{\top} A + r_k I)^{-1}\|\|_2 \end{eqnarray}$ Ab hier weiß ich nicht weiter. Wie könnte ich da weiter machen? Dankbar für jeden Tipp! Ich hoffe ich ich habe überall die Norm noch ergänzt, falls nicht: Es ist überall die euklidische Vektornorm bzw die induzierte Spektralnorm gemeint.

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