In Fp ist p*a=0

21.11.2022, 16:15	Verwirrter Ersti	Auf diesen Beitrag antworten »
*In Fp ist pa=0** Hallo, ich hab eine Frage zu einer Aufgabe und zu meinem Beweis weil der mir zu einfach vorkommt Aufgabe: Sei p eine Primzahl und Fp der Körper mit p Elementen. Ich soll zeigen, dass dann pa=0 ist für alle a aus Fp. Mein Beweis: pa ist ganzzahlig durch p teilbar, also liefert es den Rest 0, also ist p*a in der gleichen Äquivalenzklasse wie p bzw 0. Ist das so korrekt oder übersehe ich etwas? Das kommt mir irgendwie zu einfach vor
21.11.2022, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir gefällt der Beweis, ich habe auch nichts daran auszusetzen. Es könnte allerdings sein, dass mit $\begin{eqnarray} pa \end{eqnarray}$ nicht die Multiplikation im Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ gemeint ist sondern mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die natürliche Zahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein beliebiges Elemnt aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} pa:=a+...+a \end{eqnarray}$ die Summe aus $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Summanden $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Dann liefe der Beweis über die Ordnung der additiven Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb F_p,+) \end{eqnarray}$ des Körpers $\begin{eqnarray} (\mathbb F_p,+,\cdot) \end{eqnarray}$ .
22.11.2022, 17:54	Verwirrter Ersti	Auf diesen Beitrag antworten »
Da könntest du recht haben, das hab ich gar nicht bedacht. Ordnung der additiven Gruppe sagt mir nichts, das kam bei uns in der Vorlesung nicht dran, aber ich bin jetzt hier hängengeblieben: ich gucke mir die Menge {a,a+a,a+a+a,...} an und weil diese Menge nicht unendlich viele Elemente enthalten kann, weil wir ja nur p Elemente im Körper haben, muss ich irgendwann doppelte Elemente haben und das wieder von vorne anfangen, also lande ich irgendwann wieder bei {...a,a+a,a+a+a,...}. Naiv würde ich jetzt sagen, dass das Element vor dieser Wiederholung von "a" dann gerade 0 ist, weil wir dann 0+a=a bekommen. Mir fällt nur bisher kein Grund ein, wieso das nach genau p Additionen der Fall sein soll, gibt es etwas was ich da übersehe?
22.11.2022, 19:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die additive Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb F_p,+)=\{1,2,...,p-1,0\} \end{eqnarray}$ ist zyklisch von Primzahlordnung. (Ordnung einer Gruppe ist definiert als die Anzahl ihrer Elemente.) Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung einer Untergruppe ein Teiler der Gruppenordnung. Da Primzahlen p nur die Teiler 1 und p haben, gibt es nur eine Untergruppe der Ordnung 1, das ist {0}, alle anderen Elemente erzeugen also eine Untergruppe der Ordnung p, niemals weniger als p. a+...+a=0 für jedes Element a (einschließlich 0) und jede Summe mit p Summanden. qed.

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