Wie schreibt man das multiplikative Inverse modulo n richtig auf?

21.11.2022, 22:28

Delta121

Wie schreibt man das multiplikative Inverse modulo n richtig auf?

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich brauche eure Hilfe, und zwar würde ich gerne wissen, wie man das multiplikative Inversen modulo n richtig aufschreibt und warum. Kann mir das bitte einer erklären, weil ich finde keine passenden Erklärungen im Internet.

Diese Schreibweisen habe ich im Internet gefunden:
1. a*b ? 1 mod n
2. 1 ? a*b mod n
3. a*b mod n = 1
4. a*b = 1 mod n

(b ist das Inverse)

Meine Ideen:
Zu 1. und 2. weiß ich, dass der Rest der beiden Zahlen gleich sein muss, damit die Zahlen kongruent modulo n seien sollen, wie es in dem bei Beispiel 24 ? 31 mod 7 ist. Dort ist der Rest 3, aber wie sieht es jetzt bei 15 ? 1 mod 14. Warum ist das kongruent? Kann mir das einer noch erklären.
Vielen Dank im Voraus.

(Ich weiß nicht wieseo, aber ich kriege es nicht hin das Kongruenzzeichen einzufügen. Die Fragezeichen sollen die drei übereinander querliegenden Strichen entsprechen.)

21.11.2022, 22:56

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} a\equiv b\bmod m \end{eqnarray*}$ gilt per Definition genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} m\mid (a-b) \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn die Differenz $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Delta121
aber wie sieht es jetzt bei 15 ? 1 mod 14. Warum ist das kongruent?

Anscheinend soll das $\begin{eqnarray*} 15\equiv 1\bmod 14 \end{eqnarray*}$ bedeuten. Das gilt, weil 15-1 durch 14 teilbar ist.

Bzw. nach deiner etwas umständlicheren Erklärung von oben: Weil sowohl 15 als auch 1 geteilt durch 14 denselben Rest ergeben:

15 : 14 = 1 Rest 1
1 : 14 = 0 Rest 1

Wieso du hier einen substanziellen Unterschied zu $\begin{eqnarray*} 24\equiv 31\bmod 7 \end{eqnarray*}$ siehst, erschließt sich mir nicht - es sei denn, du hast eine Aversion gegen Quotientwert 0. Augenzwinkern

23.11.2022, 20:05

Delta121

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Vielen Dank für deine Antwort. Könntest du mir noch sagen, welche der vier Schreibeweisen die Richtige ist und könntest du mir sagen, warum bei 1:14 = 0 der Rest 1 rauskommt. Das erschließt sich mir nicht ganz. Vieln Dank im voraus.

23.11.2022, 21:42

Elvis

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$\begin{eqnarray*} a\cdot b\equiv 1\mod m \end{eqnarray*}$ ist die richtige Schreibweise für inverse Elemente a und b modulo m.
1:14=0 Rest 1 lernt man in der Grundschule.

23.11.2022, 23:28

HAL 9000

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@Delta121

Grundsätzlich solltest du dir im klaren sein, dass "mod" in zwei zwar verwandten, aber doch inhaltlich unterschiedlichen Bedeutungen in Formeln Verwendung findet.

(a) Als Kennzeichnung, dass man im Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ rechnet, wird ein $\begin{eqnarray*} \bmod m \end{eqnarray*}$ angehängt und i.d.R. statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ geschrieben, also beispielsweise $\begin{eqnarray*} u\equiv v\bmod m \end{eqnarray*}$ . Deine Beispiele 1,2,4 gehören in diese Kategorie.

(b) Als zweistelliger Operator $\begin{eqnarray*} u\bmod m \end{eqnarray*}$ mit einem Ergebnis im Bereich $\begin{eqnarray*} 0,\ldots,m-1 \end{eqnarray*}$ , also beispielsweise $\begin{eqnarray*} u\bmod m = v \end{eqnarray*}$ . In diese Kategorie fällt dein Beispiel 3.

Tatsächlich folgt aus $\begin{eqnarray*} u\bmod m = v \end{eqnarray*}$ (im Sinne (b)) stets auch $\begin{eqnarray*} u\equiv v\bmod m \end{eqnarray*}$ (im Sinne (a)), aber die Umkehrung gilt NICHT, da ja nicht von vornherein $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ im bewussten Bereich $\begin{eqnarray*} 0,\ldots,m-1 \end{eqnarray*}$ liegen muss.

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