ZGS. Wie viele Stichproben sind ausreichend?

22.11.2022, 05:39

Grüne Ente

ZGS. Wie viele Stichproben sind ausreichend?

Hallo

eine Frage zum ZGS.

wie viele Stichproben muss ich machen, um eine verwendbare Varianz und Erwartungswert zu erhalten, um auf Die Varianz der Grundgesamtheit zu kommen?

Habe einen Vorgang, der mir eine Produktionszahl liefert. Die Verteilung dieser Zahl ist sehr schief. Zwei Drittel der Werte sind 2, ein Hunderstel der Werte sind im Bereich 300 bis 500, und der Rest ist zwischen 20 und 60. Aber das weiß ich nur aus jahrelangen Beobachtungen. Eine Berechnung von Mittelwert und Varianz ist nicht möglich, möchte es aber mit Stichproben herausfinden. Geht das?

Ich würde Stichproben mit je 49 Vorgängen nehmen und von jeder den Mittelwert und Varianz berechnen. Doch wie viele?

Die Varianz der Produktionszahl ist 7 Mal höher als die der Stichprobe, stimmt das? Und wenn ja, wie viele Stichproben soll ich machen?

Woran erkenne ich das? Und in welchem Fall sollen die Vorgänge einer Stichprobe erhöht werden?

22.11.2022, 10:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Grüne Ente
Eine Berechnung von Mittelwert und Varianz ist nicht möglich, möchte es aber mit Stichproben herausfinden.

Diese Anmerkung ist rätselhaft: Liegt eine Stichprobe vor, dann kannst du deren Mittelwert und (empirische) Varianz auch bestimmen.

Auf einem anderen Blatt steht, wie gut diese Stichprobenstatistiken die dahinter stehenden Größen Erwartungswert und Varianz der Grundgesamtheit schätzen.

Das ist bei der von dir skizzierten Situation mit sehr seltenen Ereignissen und die aber mit sehr hohem Wert eine schwierige Angelegenheit: Die Stichprobe muss ja dann so groß sein, dass auch diese seltenen Ereignisse angemessen repräsentiert sind.

Krasses Beispiel: Wenn du dich fragst "Wie viele Lotto-6er-Gewinner gibt es in der Bevölkerung" und du befragst nur 1000 zufällig ausgewählte Leute, dann wirst du mit hoher Wahrscheinlichkeit Anzahl 0 erhalten. Daraus nun Rückschlüsse auf die Ausgangsfrage zu bekommen, ist wohl augenscheinlich sinnlos.

Zitat:

Original von Grüne Ente
Ich würde Stichproben mit je 49 Vorgängen nehmen und von jeder den Mittelwert und Varianz berechnen. Doch wie viele?

Die Varianz der Produktionszahl ist 7 Mal höher als die der Stichprobe, stimmt das? Und wenn ja, wie viele Stichproben soll ich machen?

Was ist das für ein Schluss? $\begin{eqnarray*} \sqrt{49}=7 \end{eqnarray*}$ , oder wie? verwirrt

Mittelwert und Varianz einer jeden Stichprobe sind direkt erwartungstreue Schätzungen für die o.g. Größen Erwartungswert und Varianz der Grundgesamtheit, ohne irgendwelche Skalierungen. Allerdings kann eben die Varianz der Schätzer selbst in deinem Fall sehr sehr groß sein, wenn du den Stichprobenumfang zu klein wählst. Stichprobenumfang n=49 klingt angesichts dieses "ein Hunderstel der Werte sind im Bereich 300 bis 500" nach viel zu wenig. Um eine leidlich angemessene Repräsentanz dieser Gruppe zu gewährleisten, würde ich mal (über den Daumen gepeilt) $\begin{eqnarray*} n\geq 1000 \end{eqnarray*}$ sagen, wo angesichts dann nur rund 10 Werten aus dieser seltenen Kategorie und nach wie vor unklarer Bedeutung der Unterverteilung "im Bereich 300 bis 500" immer noch ein großer Schätzfehler stecken kann.

22.11.2022, 17:43

Grüne Ente

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Ich glaube, mir ist da was nicht klar.
Den Wikipedia-Artikel zum ZGS verstehe ich so, dass das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Verteilung einer Stichprobensumme um den Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ größer und das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Verteilung eines Stichprobenmittelwertes um den Faktor $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ kleiner als das $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Verteilung der Zufallsvariablen ist.
Stimmt das, dass eine Stichprobe die Menge von n zufällig ausgewählten Zufallsvariablen ist und dass man Mittelwert und Varianz ausreichend vieler solcher Stichproben ermitteln muss, um damit auf Mittelwert und Varianz der Verteilung der Zufallsvariablen schließen zu können? Denn das ist es ja, was ich eigentlich suche.

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