Haben Anfangswertprobleme globale Lösungen ?

22.11.2022, 08:59

Atelier16

Haben Anfangswertprobleme globale Lösungen ?

Meine Frage:
Haben alle Anfangswertprobleme zum DGP mit F = (t*x/(1+||x||^2)^0.5) mit (t,x) in R x R^d globale Lösungen? Hier steht ||.|| für eine beliebige Norm auf R^d.

Meine Ideen:
Ich habe gedacht vielleicht lässt sich das DGP mit Separationsansatz lösen, bin dann aber beim Integrieren der Norm gescheitert. Dann habe ich versucht ein Gegenbeispiel zu finden. x(t)=0 wäre ja eine Lösung des Problems. Aber die ist global. Ich komme leider wirklich nicht weiter. Könnte mir jemand helfen?

22.11.2022, 12:00

Ulrich Ruhnau

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RE: Haben Anfangswertprobleme globale Lösungen ?

Zitat:

Original von Atelier16
Meine Frage:
Haben alle Anfangswertprobleme zum DGP mit F = (t*x/(1+||x||^2)^0.5) mit (t,x) in R x R^d globale Lösungen? Hier steht ||.|| für eine beliebige Norm auf R^d.

Wofür steht DGP? Laß mich raten: vielleicht "Differenzielles GrenzwertProblem"?
Laut Wikipedia finde ich nur "Deutsche Gesellschaft für Personalwesen".
Im Übrigen sollte man aber auch Latex verwenden z.B:

$\begin{eqnarray*} F = \frac{t\cdot x}{\left(1+||x||^2\right)^{0.5}} \end{eqnarray*}$

Siehe Erste Schritte -> Latex

22.11.2022, 12:51

HAL 9000

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Womöglich steht DGP für Differentialgleichungsproblem? Dann aber nur $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zu schreiben setzt implizit voraus, um welchen DGL-Grundtyp es sich handelt - man könnte spekulieren $\begin{eqnarray*} \dot{x} = F(t,x) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

22.11.2022, 13:30

Atelier16

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Vielen Dank für den Typ mit LaTeX. So wie HAL 9000 es beschreibt war es gemeint.

22.11.2022, 13:31

Atelier16

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Sorry, meinte Tipp

22.11.2022, 13:45

HAL 9000

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Sollte eigentlich durch Anwendung von Picard-Lindelöf knackbar sein, oder übersehe ich hier was? verwirrt

22.11.2022, 13:56

Atelier16

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Soll ich also versuchen die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen ? Wenn dies gelingt habe ich ja laut Picard-Lindelöf eine maximale Lösung. Aber muss diese auch automatisch global sein ?

22.11.2022, 14:02

Ulrich Ruhnau

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Also falls $\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd t} = \frac{t\cdot x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, würde ich die Methode der Trennung der Veränderlichen empfehlen.

Zum Üben von Latex empfehle ich den Formeleditor. Zum Einbinden von Latexcode in die Beiträge empfehle ich die blaue Taste f(x). Zum Übernehmen von Latexcode aus dem Fermeleditor empfehle ich die Tastenkombination STR+a um alles zu selektieren, STR+c um das Selektierte in die Zwischenablage zu kopieren und STR+v um das Selektierte in das mit Taste-f(x) geöffnete Fenster einzufügen.

22.11.2022, 14:12

Atelier16

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Danke ! Das x unter der Wurzel steht allerdings in einer Norm.

22.11.2022, 14:15

HAL 9000

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@Ulrich Ruhnau

Es geht bei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ nicht nur um Dimension $\begin{eqnarray*} d=1 \end{eqnarray*}$ , wo dein Vorschlag passend wäre, sondern wohl um beliebige $\begin{eqnarray*} d\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

22.11.2022, 14:29

Atelier16

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Also doch Lipschitz-Stetigkeit und dann Picard-Lindelöf ?

22.11.2022, 15:40

HAL 9000

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Ja. Versuch mal, ob du Lipschitzbedingung

$\begin{eqnarray*} \left\|F(t,x_1)-F(t,x_2)\right\|\leq L\cdot \left\|x_1-x_2\right\| \end{eqnarray*}$

mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$ hinkriegst. Global für beliebige $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wird das nicht gelingen - bei Einschränkung auf ein endliches Zeitintervall $\begin{eqnarray*} t\in \left[t_1,t_2\right] \end{eqnarray*}$ ist das aber sehr wohl möglich.

23.11.2022, 11:51

Atelier16

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Das man das t zuerst einmal rausziehen kann ist mir klar. Aber danach komme ich einfach nicht weiter. Ich weiß vor allem nicht wie ich mit der Norm in der Wurzel umgehen soll, da diese ja nicht konkret angegeben ist.

23.11.2022, 13:18

HAL 9000

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Ich hatte an sowas gedacht: Damit ich mir nicht einen Wolf schreiben muss, kürze ich mal im folgenden $\begin{eqnarray*} n_i:=\sqrt{1+\|x_i\|^2} \end{eqnarray*}$ ab, dann ist

$\begin{eqnarray*} d := \frac{x_1}{\sqrt{1+\|x_1\|^2}} - \frac{x_2}{\sqrt{1+\|x_2\|^2}} = \frac{x_1-x_2}{n_1} + x_2\left(\frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2}\right) = \frac{x_1-x_2}{n_1} + x_2 \frac{n_2-n_1}{n_1n_2} \stackrel{!}{=} \frac{x_1-x_2}{n_1} + x_2 \frac{n_2^2-n_1^2}{n_1n_2\left(n_1+n_2\right)} \end{eqnarray*}$

und wegen $\begin{eqnarray*} n_2^2-n_1^2 = \|x_2\|^2-\|x_1\|^2 \end{eqnarray*}$ sowie Dreiecksungleichung dann

$\begin{eqnarray*} \|d\| \leq \left[ \frac{1}{n_1} + \|x_2\| \frac{\|x_1\|+\|x_2\|}{n_1n_2\left(n_1+n_2\right)} \right]\cdot \|x_1-x_2\| \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} \|x_i\|< n_i \end{eqnarray*}$ sollte es nun möglich sein, da ein passendes $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ zu finden.

26.11.2022, 14:14

fimaaa

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Vielen Dank HAL 9000.
Mich würde nun interessieren wie man ein passendes L findet?

26.11.2022, 15:12

HAL 9000

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Herrje, mit dem Tipp $\begin{eqnarray*} \|x_i\|<n_i \end{eqnarray*}$ sowie auch mit $\begin{eqnarray*} n_i\geq 1 \end{eqnarray*}$ sollte das doch kein Problem mehr sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_1} + \frac{\|x_2\|}{n_2}\cdot \frac{1}{n_1}\cdot \frac{\|x_1\|+\|x_2\|}{n_1+n_2} \leq 1 + 1\cdot 1\cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit der Einschränkung $\begin{eqnarray*} t\in [0,T] \end{eqnarray*}$ auf ein (zunächst) endliches Zeitintervall kannst du damit dann $\begin{eqnarray*} L=2T \end{eqnarray*}$ als Lipschitzkonstante wählen.

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