Tangentialpunkt berechnen

22.11.2022, 14:49

Brigg

Tangentialpunkt berechnen

Hallo zusammen,

ich stehe vor dem Problem (siehe Skizze im Anhang).
habe u.A. schon mit dem Höhensatz / rechtwinkliges Dreieck herumgespielt
( $\begin{eqnarray*} h^{2} = p\cdot q \end{eqnarray*}$ d.h. in dem Fall $\begin{eqnarray*} R^{2} = a\cdot r_{x} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} r_{x} \end{eqnarray*}$ sei die Verlängerung von a), kam jedoch auf keine Lösung.

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen!

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Anhang als Bild eingefügt.
klauss

22.11.2022, 17:09

klauss

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RE: Tangentialpunkt berechnen
Wenn ich das Problem rchtig erfaßt habe, können in einem Koordinatensystem folgende Punkte angesetzt werden:
$\begin{eqnarray*} A(0|y_{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(x_{3}|0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{i}(x_{3}|R) \end{eqnarray*}$ (Mittelpunkte der Kreissektoren)

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ liegt auf einem Kreis mit der Gleichung
$\begin{eqnarray*} \left(x-\frac{x_{3} }{2} \right)^{2}+\left(y-\frac{R+y_{1} }{2} \right)^{2} =\frac{x_{3}^{2}+\left(R-y_{1} \right)^{2} }{4} \end{eqnarray*}$
damit zwischen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_{i} \end{eqnarray*}$ ein rechter Winkel ist.
Zugleich muß $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis
$\begin{eqnarray*} \left(x-x_{3} \right)^{2}+\left(y-R \right)^{2}=R^{2} \end{eqnarray*}$
liegen.
Damit - bekannte Zahlen eingesetzt - könnte man die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ als ein Schnittpunkt der beiden Kreise berechnen.
Ob dieser Weg unnötig kompliziert war, kann ich derzeit noch nicht überblicken.

[attach]56341[/attach]

23.11.2022, 14:11

Brigg

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RE: Tangentialpunkt berechnen
Danke schon mal für den Ansatz & deine Mühen!
Meine Antwort sieht kurz aus - tatsächlich hab ich schon etwas länger (vergeblich) daran herum gemacht traurig

Wenn ich mich nicht vollkommen verrechnet habe beim Berechnen der Schnittpunkte, bekomme ich für
$\begin{eqnarray*} y = \frac{ x \cdot x_{3} + R \cdot y_{1}}{y_{1} - R} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun auf die Werte für x? Etwas stumpf eingesetzt in eine der Kreisformeln ergab sich leider nur ein großer unübersichtlicher Zeichen-Wirrwarr - eine "Lösung" habe ich nicht gefunden.
Über weitere Hilfe würde ich mich sehr freuen

23.11.2022, 14:47

klauss

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RE: Tangentialpunkt berechnen
Es dürfte hier erleichternd zu berücksichtigen sein, dass der Punkt $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ jeweils auf den unteren Kreishälften liegt. Daher kann man beide Kreisgleichungen zur Funktion $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ auflösen und gleichsetzen.
Für die 2. Gleichung wäre das
$\begin{eqnarray*} y=-\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{3} \right)^{2} } +R \end{eqnarray*}$
Bei der 1. Gleichung muß man eben mehr Parameter mitschleppen oder man setzt gleich vorgegebene Werte ein, damit es übersichtlicher wird.
Zum Schluß sollte jedenfalls eine Formel für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von den anderen festen Größen rauskommen. Ich war bisher nur zu faul, das mit allen Buchstaben selbst aufzuschreiben.

25.11.2022, 13:21

riwe

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RE: Tangentialpunkt berechnen
viel einfacher scheint mir eine "trigonometrische" Lösung über den Winkel beta

28.11.2022, 08:13

Brigg

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RE: Tangentialpunkt berechnen
Wie würde das dann bei dir aussehen? Winkel beta ist doch nicht bekannt.

28.11.2022, 14:16

werner

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RE: Tangentialpunkt berechnen

Zitat:

Original von Brigg
Wie würde das dann bei dir aussehen? Winkel beta ist doch nicht bekannt.

da dein Interesse doch noch besteht, mit den Bezeichnern in meinem Bilderl:

$\begin{eqnarray*} tan\frac{\mu}{2}=\frac{t}{r}<br /> <br /> tan\mu=\frac{a}{b-t} \end{eqnarray*}$

bekommt man

$\begin{eqnarray*} t=r\cdot\frac{b-\sqrt{a^2+b^2-2a\cdot r}}{2r-a} \end{eqnarray*}$

und damit für den Berührpunkt T

$\begin{eqnarray*} x_T=b-\frac{2t\cdot r^2}{r^2+t^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_T=\frac{2\cdot r\cdot t^2}{r^2+t^2} \end{eqnarray*}$

edit: Koordinaten korrigiert

30.11.2022, 07:29

Brigg

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RE: Tangentialpunkt berechnen
Danke!! So einen ähnlichen Ansatz hatte ich zu Beginn auch mal, leider bin ich irgendwo falsch abgebogen Hammer