Gleichung vereinfachen

22.11.2022, 14:57

Vorzeichenambiguität

Gleichung vereinfachen

Grüß euch!

Ich habe Probleme beim Lösen der folgenden Gleichung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{9-y^2}+y\sqrt{9-x^2}=9 \end{eqnarray*}$

Nach langem Hin und Her habe ich mir die Lösung angesehen und die zur Aufgabestellung passende und erwartbare Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{9-x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 3 \end{eqnarray*}$

eines (Viertel-)Kreises gefunden. (Anm.: Das Problem fordert vorerst nur eine Lösung im ersten Quadranten)

Allerdings finde ich keinen Weg, von der ersten auf die zweiten Gleichung zu kommen. Könnte mir jemand bei der Umformung helfen?

Liebe Grüße

22.11.2022, 15:32

HAL 9000

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Einige Gleichungsumformungen ergeben

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{9-y^2}+y\sqrt{9-x^2}=9 \qquad \Bigm| ~ -y\sqrt{9-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{9-y^2}=9-y\sqrt{9-x^2} \qquad \Bigm| ~ ()^2 \end{eqnarray*}$ (Binomische Formel beachten!)

$\begin{eqnarray*} x^2\left(9-y^2\right) = 81 - 18y\sqrt{9-x^2} + y^2\left(9-x^2\right) \qquad \Bigm| ~ -9x^2+x^2y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 81-9x^2 - 18y\sqrt{9-x^2} + 9y^2 \qquad \Bigm| ~ :9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 9-x^2 - 2y\sqrt{9-x^2} + y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \left( \sqrt{9-x^2} - y\right)^2 \end{eqnarray*}$

Der letzte Schritt ist vielleicht am schwierigsten, nämlich das Binom in der vorletzten Zeile erkennen. Augenzwinkern

Zu beachten ist, dass in dieser Umformungskette mit der Quadrierung eine nicht äquivalente Umformung enthalten ist, daher ist eine Probe für das Ergebnis unumgänglich - aber die verläuft zumindest für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ erfolgreich (für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ übrigens nicht).

Zitat:

Original von Vorzeichenambiguität
Anm.: Das Problem fordert vorerst nur eine Lösung im ersten Quadranten

Diese Einschränkung ist überflüssig: Der obige Umformungsweg inklusive Probe zeigt, dass es in den anderen drei Quadranten keine Lösung gibt.

22.11.2022, 15:37

adiutor62

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RE: Gleichung vereinfachen
https://www.wolframalpha.com/input?key=&....5+%3D9+solve+y

22.11.2022, 15:44

HAL 9000

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Dann wollen wir mal hoffen, dass Vorzeichenambiguität eine Wolfram-Lizenz hat. Ich hab keine, und bei mir erscheint deshalb nach Schritt 1:

Zitat:

To unlock the full solution... Go Pro Now

Und nur die Lösung war eh schon bekannt. Augenzwinkern

22.11.2022, 19:44

Vorzeichenambiguität

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Wow, danke für die schnelle Antwort. Da hab ich wohl zu früh aufgegeben! Danke für den wertvollen letzten Schritt! Augenzwinkern

Zitat:

Original von HAL_9000

Zitat:

Original von Vorzeichenambiguität
Anm.: Das Problem fordert vorerst nur eine Lösung im ersten Quadranten

Diese Einschränkung ist überflüssig: Der obige Umformungsweg inklusive Probe zeigt, dass es in den anderen drei Quadranten keine Lösung gibt.

Ja und nein smile

Die Angabe des Problems, nämlich den Weg, den der Mittelpunkt einer Linie mit fixer Länge beschreibt, darzustellen, enthält per se mal keine Einschränkung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Die komplette (geometrische) Lösung ist ja tatsächlich ein Kreis mit Radius 3, also $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=9 \end{eqnarray*}$ . Meine Frage bezog sich ja "nur" auf die algebraische Herleitung über Euklid, die obenstehendes liefert Augenzwinkern

Danke und alles Liebe!

22.11.2022, 19:56

HAL 9000

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Das lasse ich so nicht stehen: Es ging in deiner Threadanfrage nicht um irgendein geometrisches Problem, sondern nur um die Gleichung $\begin{eqnarray*} x\sqrt{9-y^2}+y\sqrt{9-x^2}=9 \end{eqnarray*}$ , und diese Gleichung hat KEIN reelles Lösungspaar $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ . Falls du anderer Meinung bist, dann nenne mir bitte ein solches Paar!

23.11.2022, 10:59

Vorzeichenambiguität

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Damit hast du natürlich Recht. Die eigentliche Angabe, die u.a. diese Gleichung liefert, hatte ich ja gar nicht in meinem Thread formuliert Augenzwinkern

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