Komplizierte Betragsfunktionen

23.11.2022, 07:40	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplizierte Betragsfunktionen Liebe Forumsgemeinde, für die nachfolgend angegebener Betragsfunktion a) würde mich interessieren, mit welchen Rechenwegen man auf das Ergebnis x=3 kommt. Graphisch habe ich die Sache gelöst. Nur, wie kommt man rechnerisch drauf? Welche Rechenwege sind für Aufgabe b) erforderlich? Danke für Antwort.
23.11.2022, 08:06	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein landläufiges, wenngleich umständliches Verfahren: Betragsterm isolieren, dann beide Seiten der Gleichung quadrieren, dann die Polynomgleichung lösen. Zu jeder Lösung die Probe bezüglich der ursprünglichen Gleichung machen.
23.11.2022, 08:18	betrager	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann hier mit Fallunterscheidungen arbeiten. Für nicht negative a wird \|a\| zu a und für negative a wird \|a\| zu -a. Daraus ergeben sich betragsfreie Gleichungen, die es zu lösen gilt. Die resultierenden Lösungen sind stets mit der sich aus der jeweiligen Fallunterscheidung ergebenden Definitionsmenge zu vergleichen, um mögliche Scheinlösungen zu eliminieren.
23.11.2022, 08:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) kann man umschreiben zu $\begin{eqnarray} (x-3)(x-4) + 4\|x-3\| = 0 \end{eqnarray}$ , und daraus sehr viel ablesen.
23.11.2022, 08:59	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a). Wie folgt lassen sich beide Fälle der Fallunterscheidung in einem Rutsch abarbeiten. Man betrachte die Identität $\begin{eqnarray} \|x-3\| = (x-3)s_x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_x := \operatorname{sgn}(x-3). \end{eqnarray}$ Die Gleichung nimmt hiermit die Form der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + (4s_x - 7)x + 12(1-s_x) = 0 \end{eqnarray}$ an. Man erhält $\begin{eqnarray} 2x = -p\pm\sqrt{p^2-4q} = -(4s_x-7)\pm\sqrt{(4s_x-7)^2-48(1-s_x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 7-4s_x\pm\sqrt{(4s_x-1)^2} = 7-4s_x\pm\|4s_x-1\|. \end{eqnarray}$ Da kommt zunächst $\begin{eqnarray} x\in\{3,8\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s_x=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in\{0,3\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s_x=1 \end{eqnarray}$ raus. Allerdings erfüllt nur $\begin{eqnarray} x=3 \end{eqnarray}$ die Zusatzbedingung $\begin{eqnarray} s_x=\operatorname{sgn}(x-3). \end{eqnarray}$
23.11.2022, 09:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) schaut man sich die drei Nullstellen der jeweils linearen Terme unter den Betragszeichen an (das sind die Werte 0, -1 und -2) und baut daraus eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in Intervalle, wo diese drei Werte die Trennstellen sind, d.h. $\begin{eqnarray} (-\infty,-2), [-2,-1), [-1,0), [0,\infty) \end{eqnarray}$ . (welchem Teilintervall man die Trennstellen selbst zuordnet, ist Geschmackssache - ich habe es jeweils dem rechts davon liegenden Intervall zugeschlagen, was aber kein Muss ist). In jedem dieser vier Intervalle ist eine Betragsauflösung eindeutig möglich, d.h. $\begin{eqnarray} \|x-a\|=x-a \end{eqnarray}$ oder eben $\begin{eqnarray} \|x-a\|=-(x-a) \end{eqnarray}$ . Was letztlich hier dann jeweils in eine leicht lösbare lineare Gleichung mündet.
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