Konvergenz einer Reihe mit näherung

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NatGeoCrow Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe mit näherung
Hallo,
Ich bearbeite zurzeit diese Aufgabe:
Weisen sie die Konvergenz der Reihe nach und bestimmen Sie eine Näherung für den Wert der Reihe mit einem Fehler

Welches Kriterium bietet sich hier am besten an. Nach meiner Meinung wird hier das Leibnizkriterium ausgeschlossen, da wir keine Nullfolge haben.
Außerdem bin ich verwirrt, dass die Reihe mit k=0 startet. Bei k=0 wird doch durch 0 geteilt, was ja nicht geht.

Ich hoffe einer kann mir helfen.
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RE: Konvergenz einer Reihe mit näherung
per Definition. Warum genau haben wir keine (monotone) Nullfolge?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein üblich ist Definition für alle reellen , speziell auch .

Zitat:
Original von NatGeoCrow
Nach meiner Meinung wird hier das Leibnizkriterium ausgeschlossen, da wir keine Nullfolge haben.

Die Reihenglieder bilden hier eine alternierende Nullfolge, und vom Betrag her auch streng monoton fallend. Leibniz ist also sehr wohl anwendbar.

Darüber hinaus gilt für die Partialsummen solcher Leibnizreihen folgendes:

Ist für monoton fallend, dann gilt für all diese . Das bietet eine einfache Möglichkeit, dies hier

Zitat:
Original von NatGeoCrow
bestimmen Sie eine Näherung für den Wert der Reihe mit einem Fehler

zu bearbeiten.
NatGeoCrow Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt , ihr habt natürlich recht. Aber wie macht man die Fehlerabschätzung bzw. gibt es da vielleicht ein konkretes Beispiel?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Lösung auch noch gern bestätigt sehen und schlage vor, bis HAL 9000 wieder einsteigt, für die von ihm angegebene Bedingung in der Form

das passende zu bestimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist die Idee. Um das Verhalten der Partialsummenfolge noch etwas näher zu erläutern: Für gilt



D.h., die Partialsummenfolge mit ungeraden Indizes nähert sich von unten monoton wachsend dem Reihenwert , ebenfalls die Partialsummenfolge mit geraden Indizes von oben monoton fallend. Das Einschachtelungsintervall für hat die Breite , und das "nächste" solche Intervall hingegen , so dass durch die alternierende Platzierung der Partialsummen unter- wie oberhalb des Grenzwerts dann



gelten muss.
 
 
NatGeoCrow Auf diesen Beitrag antworten »

Also man könnte dann doch folgendes machen:

einsetzen und dann halt abschätzen:

dann nach k auflösen:
, dann erhält man . Ist mein Gedanke so richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass für monoton wächst, ist wohl offenkundig. Da kann man auch einfach mal ausrechnen und ist am Ziel. Damit ist bereits



ausreichend genau, d.h. Näherung .

Bei bekommst du mit bereits einen Wert mit .
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Bestätigung.
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