Integral Zylindervolumen

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Wilter Gewandter Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Zylindervolumen
Meine Frage:
Wir betrachten einen Zylinder mit Radius a und Höhe h
Schreiben wir das Integral zur Bestimmung des Volumens V in zylinderkoordinaten auf und bestimmen
Sie died Integrationsgrenzen!
Das Volumen V kann genauso in kartesischen Koordinaten auf und bestimmen Sie die Integrationsgrenzen.


Meine Ideen:
Also die Zylinderkoordinaten sind ja dann x=r*cos(a). Y=r*cos(a) und z=h
Das Volumen ist ja dann pi*r^2*h
Jetzt frage ich mich nur wie ich das am besten als Integral umformuliere
Es ist ja wahrscheinlich ein Dreifachintegral mit dV
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT 1
Ich sehe gerade, daß der Radius des Zylinderkreises in der Aufgabe a heißt. Ich hatte da r gelesen. Meinen Warnungen hinsichtlich r im Folgenden sind daher obsolet. Ich lasse den Beitrag dennoch in seiner ursprünglichen Fassung stehen.

EDIT 2
Und soeben bemerke ich, daß Du selbst auch eine gewisse Verantwortung für den Bezeichnerwirrwarr hast, denn du bist plötzlich von a auf r umgeschwenkt. Nun ja, da mußt du dich jetzt selbst durchwühlen.


Du darfst vor allem eines nicht tun: Wenn du als Parameter für den Radius des Zylinderkreises nimmst, darfst du nicht gleichzeitig als Variable für eine Koordinate verwenden.

Machen wir uns daher klar, daß Parameter sind. Zunächst muß der Zylinder in das Koordinatensystem gelegt werden. Von Natur aus gegeben ist da gar nichts. Das Übliche ist aber das Folgende: Man stellt den Zylinder auf die -Ebene, so daß er in Richtung der positiven -Koordinaten steht. Und die -Achse soll gerade seine Rotationsachse sein. Damit wird der Zylinder in -Koordinaten durch den folgenden Bereich beschrieben:



Das Volumen des Zylinders ist dann



Was bei mir heißt, ist dein .

Wir beginnen mit der Integration über , also



Für ein fest gedachtes ist nun in Abhängigkeit von über alle zu integrieren, so daß ist. Erfreulicherweise ist die Bedingung für die unabhängig von , so daß es recht einfach wird:



Und da das innere Integral relativ zu konstant ist, kann es vor das -Integral gezogen werden:



In dieser Formel erkennt man schon das Prinzip "Grundfläche mal Höhe". Das erste Integral berechnet den Flächeninhalt eines Kreises vom Radius . Wenn du die bekannte Flächenformel hierfür verwenden darfst, bist du schon fertig. Ansonsten kannst du das Integral durch Einführung von Polarkoordinaten berechnen. Zylinderkoordinaten sind letztlich nichts anderes als Polarkoordinaten für zwei der kartesischen Koordinaten bei Beibehaltung der dritten Koordinate. Aber Vorsicht! Für die Radiusvariable der Polarkoordinaten ist jetzt verboten. Man könnte auf das griechische Pendant ausweichen.
Wilter Gewandter Auf diesen Beitrag antworten »
Frage
Also wenn man jetzt die polar Koordinaten einsetzt bekommt ja als untere integrationsgrenze (rho)^2 raus und ich soll ja noch überprüfen ob beide integrale das in kartesischen und zylinderkoordinaten das selbe Volumen haben wie kommt denn dann das zu stande.

Edit 1 ja das Chaos tut mir leid
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage
Zitat:
Original von Wilter Gewandter
Also wenn man jetzt die polar Koordinaten einsetzt bekommt ja als untere integrationsgrenze (rho)^2 raus


Das verstehe ich nicht. Wenn man Polarkoordinaten




einführt, erhält man mit dem trigonometrischen Pythagoras





Damit gilt:



Die Einführung von Polarkoordinaten ist nicht erforderlich. Die Bedingung kann nur erfüllt werden für . Nun denkt man sich ein solches fest gewählt und löst nach auf:



Somit gilt:



Die noch übrigbleibenden eindimensionalen Integrationen mußt du nach dir bekannten Verfahren ausführen.
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