Doppelsumme berechnen

23.11.2022, 22:15

Lena0311

Doppelsumme berechnen

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich war gerade dabei, eine Aufgabe mit einer Doppelsumme zu berechnen. Zu der Aufgabe habe ich nur die Lösung, aber leider keinen Lösungsweg.

Anbei die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{i=-1}^{1} \sum\limits_{j=-2*i}^{i} i^{2} *j<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da der Index des äußeren Summanden bei -1 beginnt und bei 1 endet, bin ich davon ausgegangen, dass beim äußeren Summanden drei Durchgänge stattfinden
(-1 / 0 / 1)
In dem inneren Summanden ist j beim ersten Durchlauf = 2 und endet bei -1. In dem inneren Summanden habe ich ja somit 4 Durchgänge (2 / 1 / 0 / -1)

Im ersten Durchgang habe ich folgendes notiert (1*2+1*1+1*0+1*-1) = 2
Beim zweiten Durchgang ist i = 0 , deswegen habe ich den Schritt weggelassen. Im letzten Durchgang habe ich (1*-2+1*-1+1*0+1*1) = -2 aufgeschrieben

Wenn ich die Summen summiere, bin ich am Ende bei dem Ergebnis 0. Das richtige Ergebnis ist allerdings -2.

Ich wäre dankbar, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet.

23.11.2022, 22:50

Leopold

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Für $\begin{align*} i=-1 \end{align*}$ scheint der Index der $\begin{align*} j \end{align*}$ -Summe rückwärts zu laufen: $\begin{align*} \sum_{j=2}^{-1} (-1) \cdot j \end{align*}$

In Summen wird aber grundsätzlich in aufsteigender Richtung summiert. Die Summe hier ist daher eine "verbotene" Summe. Man kann sozusagen nicht von $\begin{align*} j=2 \end{align*}$ aufsteigend zu $\begin{align*} j=-1 \end{align*}$ gelangen. Es gibt daher keine zulässigen Indizes $\begin{align*} j \end{align*}$ . Anders gesagt: Die Indexmenge ist leer. Nach allgemeiner Konvention werden solche Summen als 0 festgelegt. Die Konvention ist allerdings nicht streng. Es mag Situationen geben, wo man andere Festlegungen trifft. Das ist aber dann im Text ausdrücklich zu vermerken.

23.11.2022, 23:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lena0311
In dem inneren Summanden ist j beim ersten Durchlauf = 2 und endet bei -1. In dem inneren Summanden habe ich ja somit 4 Durchgänge (2 / 1 / 0 / -1)

Das ist eine Definitionsfrage: Normalerweise ist das Summensymbol nur definiert für aufsteigende Indizes. In dem Sinne ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=a}^b f(i) = \sum_{i:~a\leq i\leq b} f(i) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ ,

da es dort schlicht keine Indizes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\leq i\leq b \end{eqnarray*}$ gibt.

Du hingegen scheinst das anders aufzufassen, d.h., dass man mal noch oben zählt (für $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ ) oder auch mal nach unten (für $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ ). Diese Auffassung ist mir eher fremd, aber wenn das bei euch so üblich ist, na dann...

EDIT: Oh, da war ich aber langsam. Augenzwinkern

24.11.2022, 13:54

Lena0311

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Vielen Dank für die Rückmeldungen.

Dann weiß ich vermutlich, warum ich auf ein falsches Ergebnis gekommen bin. Dann wird nur beim letzten Durchlauf, also wenn i = 1 ist, der Summand berechnet. Da komme ich nämlich genau auf -2.

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