Sehnen einer Parabel

24.11.2022, 14:57	Vorzeichenambiguität	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehnen einer Parabel Grüß euch, ich hänge bei einem teils geometrischen, teils algebraischen Problem. Die Aufgabenstellung lautet (übersetzt): Betrachten Sie alle Strecken/Sehnen (engl. chords) mit einer bestimmten Steigung $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , deren Endpunkte auf der Parabel $\begin{eqnarray} x^2=4ay \end{eqnarray}$ liegen. Zeigen Sie, dass die Ortskurve (engl. locus) der Mittelpunkte dieser Strecken eine Gerade parallel zur y-Achse ist. Folgenden Versuch, zu einer Lösung zu gelangen, habe ich unternommen: Mithilfe der Parametrisierung der Parabel habe ich mir zwei Punkte $\begin{eqnarray} P=(2ap,ap^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q=(2aq,aq^2) \end{eqnarray}$ auf der Parabel genommen und die Gerade durch diese Punkte aufgestellt. Die Steigung ist somit $\begin{eqnarray} \frac{ap^2-aq^2}{2ap-2aq} = \frac{a(p^2-q^2)}{2a(p-q)}= \frac{p+q}{2} \end{eqnarray}$ . Der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray} PQ \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \left(a(p+q),\frac{a}{2}(p^2+q^2)\right) \end{eqnarray}$ . Da die Steigung ja, wie angegeben, für jede dieser Sehnen gleich ist, gilt für die weiteren Punkte $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ (analog zu $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ gewählt): $\begin{eqnarray} p+q=r+s \end{eqnarray}$ . Die x-Koordinate des Mittelpunktes von $\begin{eqnarray} RS \end{eqnarray}$ ist also identisch mit der des Mittelpunkts von $\begin{eqnarray} PQ \end{eqnarray}$ . Die Gerade durch diese beiden (und somit auch durch alle weiteren ebenso gebildeten) Mittelpunkte ist somit parallel zur y-Achse, wie gefordert. Nun meine Frage(n): Stimmt das so, und wenn ja, gibt es da vielleicht noch einen eleganteren Weg, der weniger Hilfspunkte benötigt? Danke und liebe Grüße
24.11.2022, 16:57	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sehnen einer Parabel Guten Tag, ich füge hier einen Ausschnitt aus Lambacher Schweizer, Analytische Geometrie, 1957, S. 118 an: [attach]56359[/attach] Mir ist schon klar, dass es sich dabei um eine einfachere Variante deiner Aufgabe handelt, der Lösungsansatz müsste sich aber auch auf deine Aufgabe übertragen lassen.
24.11.2022, 17:10	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sehnen einer Parabel Da das Problem teils geometrisch, teils algebraisch ist, habe ich versucht, es auch so zu lösen. Ich habe die beiden Funktionen $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{4a}x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=mx+t \end{eqnarray}$ gleichgesetzt und die beiden Schnittpunkte $\begin{eqnarray} S_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} S_{2} \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit der Parameter berechnet. Die Ortskurve der Mittelpunkte habe ich vektoriell mit $\begin{eqnarray} \overrightarrow{M_{t} }=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{S_{1} }+\overrightarrow{S_{2} }\right) =\begin{pmatrix} 2am \\ 2am^{2}+t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnet. Besondere Betrachtungen von Wertebereichen für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ habe ich zunächst außen vor gelassen, aber ein erster Test bestätigt das Ergebnis: [attach]56360[/attach]

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