Untervektorraum von C^2

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24.11.2022, 17:30	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum von C^2 Meine Frage: Guten Tag, Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen Untervektorräume der angegebenen Vektorräume sind. $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} a+b \\ c^2 \end{pmatrix} \in \mathbb C^2 <br /> \| a,b,c \in \mathbb C \right\} \subset \mathbb C^2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also bei mir hapert es bei der Addition. Für die obere Zeile ist es einfach. Bei der unteren Zeile habe ich Probleme. Ich verstehe nicht wie aus der Addition von zwei quadrierten komplexen Zahlen wieder eine quadrierte komplexe Zahl bekomme. $\begin{eqnarray} z_1^2+z_2^2 = ((a_1^2-b_1^2)+(a_2^2-b_2^2))+i((2a_1b_1)<br /> +(2a_2b_2)) \end{eqnarray}$ Ich denke ich brauche nur einen kleinen Tipp.
24.11.2022, 17:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lese die Aufgabe so, dass Du entscheiden sollst, ob das ein Unterrraum ist oder nicht. Wenn Du Probleme mit dem Quadrat hast, könnte das ein Hinweis auf die Antwort sein. Du müsstest dann nur ein Gegenbeispiel finden. Nachtrag: Solltest Du kein Gegenveispiel finden, dann überlege Dir, ob die Menge vielleicht einfacher darstellbar ist und nur aus didaktischen Gründen komplizierter als nötig gewählt wurde.
24.11.2022, 17:57	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich finde wirklich kein Gegenbeispiel. Ich wüsste auch nicht warum a^2+b^2=c^2(wenn a,b,c komplexe Zahlen sind) nicht gelten sollte. Ich weiß auch nicht wie ich meine Menge besser wählen sollte. Ich habe halt zwei komplexe Zahlen quadriert und addiert. Dann habe ich versucht, das Ergebnis in die Form: (a+ib)^2 zu bringen. Ich werde mal versuchen andersherum zu starten. Ich fange mal mit c^2 an und versuche a^2 + b^2 zu zeigen.
24.11.2022, 18:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Du bist also der Ansicht, dass es sich um einen Unterraum handelt. Dann hilft es vielleicht die Funktion $\begin{eqnarray} f(z)=z^2 \end{eqnarray}$ auf Subjektivität zu untersuchen. Was bedeutet das für das Bild dieser Abbildung und somit für die zweite Komponente der Elemente in der zu prüfenden Menge?
24.11.2022, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach's nicht zu kompliziert. 1. Überlege, welche komplexe Zahl nicht die Summe aus zwei komplexen Zahlen ist. 2. Überlege, welche komplexe Zahl nicht das Quadrat einer komplexen Zahl ist. 3. Erkenne, dass damit das Problem gelöst ist.
24.11.2022, 18:29	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok ja der Realteil von z^2 ist immer größergleich Null. Ich verstehe. Vielen Dank dir. LG Nostromo
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24.11.2022, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} i^2=-1 \end{eqnarray}$
24.11.2022, 20:13	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist $\begin{eqnarray} f(z)=z^2 \end{eqnarray}$ auf jedenfall surjektiv. Ich weiß nicht wie mir das hilft. Man kann doch aus jeder komplexen Zahl auch die Wurzel ziehen und damit ist auch Jede Quadratzahl der Form (a+bi)*(c+di). Ich weiß auch nicht wieso es eine komplexe Zahl geben soll die nicht die Summe von zwei anderen Komplexen Zahlen ist.
24.11.2022, 20:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat das jemand behauptet? Weil die Abbildung surjektiv ist, lässt sich zu jedem c^2 ein z aus C finden mit c^2=z, also ist die zu betrachten Menge nichts anderes als $\begin{eqnarray} \mathbb{C} ^2 \end{eqnarray}$ .
24.11.2022, 21:22	Nostromo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. Ich lasse es mir nochmal durch den Kopf gehen. Vielen Dank.

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