Grenzwert einer rekursiven Folge

25.11.2022, 16:33	anonym324324	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer rekursiven Folge Meine Frage: $\begin{eqnarray} z_{n+1} = \frac{7 + 3 z_{n}}{3 + z_{n}} \end{eqnarray}$ a0 = 3 Meine Ideen: Versuchen die Folge umzuschreiben Latex-Code ergänzt. klauss
25.11.2022, 16:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt $\begin{eqnarray} a_0=3 \end{eqnarray}$ meinst du wohl $\begin{eqnarray} z_0=3 \end{eqnarray}$ . Als erstes würde ich den mutmaßlichen Grenzwert $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ausrechnen, der ein Fixpunkt der Iterationsgleichung sein muss: $\begin{eqnarray} g=\frac{7+3g}{3+g} \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} g^2 = 7 \end{eqnarray}$ . Da die Folge durchgehend positiv ist, kann allenfalls $\begin{eqnarray} g=\sqrt{7} \end{eqnarray}$ Grenzwert sein. Für die "verschobene" Folge $\begin{eqnarray} x_n = z_n-\sqrt{7} \end{eqnarray}$ gilt damit dann $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{7+3\left(x_n+\sqrt{7}\right)}{3+x_n+\sqrt{7}}-\sqrt{7} = \frac{3-\sqrt{7}}{x_n+3+\sqrt{7}} x_n \end{eqnarray}$ . Mit dieser Darstellung in Verbindung mit $\begin{eqnarray} x_1=3-\sqrt{7}>0 \end{eqnarray}$ ist es leicht nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine positive monoton fallende Nullfolge ist.

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