Ist die Menge eine Gruppe bezüglich der Addition

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25.11.2022, 20:33	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Menge eine Gruppe bezüglich der Addition Hallo, wenn ich prüfen möchte, ob die Menge $\begin{eqnarray} S = \{\frac{n}{2}\|n \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ eine Gruppe bezüglich der Addition ist, dann würde ich folgendermaßen vorgehen: 1.) Neutrales Element bezüglich der Addition nachweisen. Für die Eigenschaft müsste gelten $\begin{eqnarray} a + 0 = 0 + a = a \end{eqnarray}$ . Die oben definierte Menge enthält die 0 d.h. ich kann jedes Element aus der Gruppe nehmen mit 0 addieren und erhalte wieder das Element. 2.) Existenz des inversen Elements: Zu jeder Zahl $\begin{eqnarray} x \in S \end{eqnarray}$ gibt es ein inverses Element, dieses ist $\begin{eqnarray} -x \in S \end{eqnarray}$ . 3.) Die Assoziativität $\begin{eqnarray} x + (y+z) = (x+y) + z \end{eqnarray}$ in der Menge scheint auch zu gelten, zumindest fällt mir hier kein Gegenbeispiel ein. Für mich stellt sich die Frage, ob man das hier als "Beweis" durchgehenlassen kann?
25.11.2022, 21:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kleines bisschen konkreter. 2.) Für $\begin{eqnarray} \frac n 2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} - \frac n 2 \end{eqnarray}$ das Inverse. 3.) Assoziativitaet gilt in rationalen Zahlen, also auch in dieser Teilmenge der rationalen Zahlen.
26.11.2022, 10:34	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis für die Konkretisierung!
26.11.2022, 18:24	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde noch ein paar Gedanken anstellen wollen Würde $\begin{eqnarray} \{x \in \mathbb{R}\| x \notin \mathbb{Q}\} \cup \{0\} \end{eqnarray}$ eine Gruppe bezüglich der Addition darstellen? Ich würde sagen ja, denn das neutrale Element wäre die 0, die Inverse gibt es auch z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \end{eqnarray}$ , und die Assoziativität scheint hier auch zu gelten? Ein Beispiel für eine nicht Gruppe wäre z.B. sowas wie $\begin{eqnarray} \{x \in \mathbb{R}\|x \geq 0\} \end{eqnarray}$ ? Hier wäre auch das neutrale Element die 0, es gibt hier keine Additive Inverse denn 1 + (-1) = 0, aber -1 ist ja kein Element, dass in dieser definierten Menge liegt.
26.11.2022, 19:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du stolperst bei $\begin{eqnarray} M:=\{x \in \mathbb{R}\| x \notin \mathbb{Q}\} \cup \{0\} \end{eqnarray}$ über ein Problem, das du in deinem Beispiel mit der Menge S schlicht ignoriert hast: Offensichtlich gehören $\begin{eqnarray} 1-\sqrt 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ zur Menge M, ihre Summe aber nicht. Deine Menge ist also nicht abgeschlossen unter Addition, kann also keine Gruppe sein. Den Aspekt der Abgeschlossenheit bzgl. Addition hast du bei der Untersuchung der Menge S schlichtweg vergessen. Dort ist er sehr einfach nachzuweisen, geradezu offensichtlich. Hier siehst du, warum man ihm Beachtung schenken muss.
26.11.2022, 19:36	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL, das ist ein wichtiger Punkt. Die Abgeschlossenheit habe ich hier wirklich zunächst einmal "ignoriert". Das Beispiel mit den beiden Elementen finde ich gut! Dann ist $\begin{eqnarray} M:=\{x \in \mathbb{R}\| x \notin \mathbb{Q}\} \cup \{0\} \end{eqnarray}$ schon mal keine Gruppe. Die Abgeschlossenheit scheint aber für $\begin{eqnarray} S := \{\frac{n}{2}\|n \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_2 := \{x \in \mathbb{R}\|x \geq 0\} \end{eqnarray}$ zu gelten. Meine Begründung für die nicht Gruppe $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ würde ich beibehalten.
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26.11.2022, 19:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ sind bzgl. der definierten Addition abgeschlossen. Bei $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ müsste man strenggenommen noch sagen, dass das neutrale Element $\begin{eqnarray} 0=\frac 0 2 \end{eqnarray}$ ist, also ein Element von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ ist keine Gruppe, aber ein Monoid
26.11.2022, 19:47	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL, ja bei $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element $\begin{eqnarray} 0=\frac 0 2 \end{eqnarray}$ , das ist exakt! $\begin{eqnarray} S_2 \end{eqnarray}$ ist keine Gruppe, aber ein Monoid , stimmt auch, weil ja nur die Axiome Assoziativität und neutrales Element erfüllt sind. Ich weiß jetzt auch warum ich die Abgeschlossenheit hier ignoriert habe, in der Gruppen Definition die ich habe, sind nur die erste drei Gruppenaxiome enthalten gewesen 1. Assoziativität, 2. Neutrales Element, 3. Inverses Element
26.11.2022, 20:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das steht bei der Definition der Verknüpfung, z.B. $\begin{eqnarray} S\times S \to S, (a,b)\mapsto a \circ b \end{eqnarray}$ . Die Verknüpfung muss also zwei Elementen aus S wieder ein Element aus S zuordnen. Das ist nichts anderes als die Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung. In deinem Beispiel mit der Menge M hast du eine Verknüpfung $\begin{eqnarray} M \times M \to \mathbb R \end{eqnarray}$

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