Stammfunktion zu f(x)=1/x

26.11.2022, 21:05

142421

Stammfunktion zu f(x)=1/x

Wieso ist das Integral von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \ln(|x|) \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2022, 21:14

nichteuerernst

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RE: gaga
Weil die Ableitung von ln|x| nun mal 1/x ist.
Wenn dich der Betrag überfordert:
ln|x|= ln(x), falls x>0 gilt.
ln|x|=ln(-x), falls x<0 gilt.

Diese "Konstruktion" ist erforderlich, weil ln(x) nur für x>0 definiert ist (und dort die Stammfunktion von 1/x ist), aber 1/x auch für negative x definiert ist und auch dort eine Stammfunktion braucht.

27.11.2022, 05:20

Phenix

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Das ist nicht dein Ernst…
… denn die Stammfunktion zu f(x) = 1/x

Ist:

F(x) = ln(|x|) + C

27.11.2022, 07:58

Leopold

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RE: Das ist nicht dein Ernst…

Zitat:

Original von Phenix
… denn die Stammfunktion zu f(x) = 1/x

Ist:

F(x) = ln(|x|) + C

Das stimmt nicht ganz. Zunächst einmal ist das nur eine Stammfunktion. Wenn man über $\begin{align*} C \in \mathbb{R} \end{align*}$ den Allquantor laufen läßt, erhält man unendlich viele Stammfunktionen. Das sind aber immer noch nicht alle. Die Menge aller Stammfunktionen der Funktion

$\begin{align*} x \mapsto \frac{1}{x} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{align*}$

ist gegeben durch

$\begin{align*} L = \left\{ \left. F_{C_1,C_2} \ \right| \ C_1,C_2 \in \mathbb{R} \right\} \end{align*}$

wobei $\begin{align*} F_{C_1,C_2} \end{align*}$ für $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \end{align*}$ durch

$\begin{align*} F_{C_1,C_2}(x) = \begin{cases} C_1 + \ln(-x), & x<0 \\ C_2 + \ln(x), & x>0 \end{cases} \end{align*}$

definiert wird. Wer mag, kann in der Definition einheitlich $\begin{align*} \ln (|x|) \end{align*}$ schreiben.

Wenn schon, denn schon.

27.11.2022, 14:29

142421

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@nichteuerernst
????
Darauf wär ich jetzt nicht gekommen. Danke für die Erklärung.
Das ist genauso als würde ich sagen, warum ist das Integral von 1 gleich x? Ja ganz einfach, weil die Ableitung gleich 1 ist. Finger1

Dank dir bin ich jetzt schlauer geworden, wirklich ich bin beeindruckt von deiner Erklärung.

Es geht mir wohl offensichtlich eher darum, wie die Herleitung dazu ist. Solche banalen Dinge die du schreibst, kann ich mir wohl selber denken.

27.11.2022, 14:49

Phenix

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Erbsen zählen
@Leopold

Viele Dinge stimmen nicht ganz, aber die Korinthenkackerei macht es auch nicht stimmiger.

27.11.2022, 14:54

Iorek

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RE: Das ist nicht dein Ernst…

Zitat:

Original von Phenix
@Leopold

Viele Dinge stimmen nicht ganz, aber die Korinthenkackerei macht es auch nicht stimmiger.

Wie man in den Wald ruft...

Zitat:

Original von 142421
Es geht mir wohl offensichtlich eher darum, wie die Herleitung dazu ist. Solche banalen Dinge die du schreibst, kann ich mir wohl selber denken.

Die Antwort mag etwas knapp gewesen sein, aber sie beinhaltet auch eine Herleitung: berechne eben mal die Ableitung vom Logarithmus. Das geht etwa mit Kenntnis der Exponentialfunktion und der egel für die Ableitung der Umkehrfunktion ganz einfach.

27.11.2022, 14:58

URL

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RE: Das ist nicht dein Ernst…
Ohne den Logarithmus zu kennen, kann man über diese Stammfunktion offenbar nicht reden. Jetzt sehe ich zwei Möglichkeiten.
1. Den Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Dann muss man nur die Identität $\begin{eqnarray*} x=e^{\ln x} \end{eqnarray*}$ differenzieren, um $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac 1 x \end{eqnarray*}$ zu bekommen.
2. Den Logarithmus über eine Potzenreihe zu definieren, etwa $\begin{eqnarray*} \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$ .
Dann integriert man die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \frac 1 x =\frac {1}{1-(1-x)}=\sum_{n=0}^\infty (1-x)^n \end{eqnarray*}$
Edit: Zu langsam smile

27.11.2022, 18:00

Leopold

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RE: Erbsen zählen

Zitat:

Original von Phenix
aber die Korinthenkackerei macht es auch nicht stimmiger.

Aber sie macht es zumindest richtig. Es ist nicht meine Schuld, wenn du das nicht verstehst.

27.11.2022, 22:27

HAL 9000

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Ich habe auch schon (mehrfach) die Erfahrung gemacht, dass einem diesbezüglichen Hinweis mit Verständnislosigkeit begegnet wird, z.B. hier

https://www.onlinemathe.de/forum/Unbesti...Stammfunktionen .

Was einen aber nicht davon abhält, sowas doch immer wieder anzubringen - schließlich ist das für lernwillige Leute gedacht und nicht für altkluge Phenixe.

27.11.2022, 22:45

Leopold

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Gestern auf dem Weihnachtsmarkt habe ich seinen Enkel getroffen. Ein netter Junge, ein wenig verpeilt, aber sonst ganz in Ordnung. In drei Jahren macht er Abitur, hat er mir gesagt. Bisher hilft ihm der Großvater, wenn er Schwierigkeiten in Mathe hat. Er muß ein bißchen selbständiger werden, meinte ich zu ihm. Ja, er wird demnächst seine erste eigene Anfrage beim MatheBoard stellen. Er hat den Brunschen Witz nicht verstanden.

27.11.2022, 23:15

Leopold

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Eine andere Möglichkeit ist es, den natürlichen Logarithmus geradezu über das Integral zu erklären:

$\begin{align*} L(x) = \int_1^x \frac{\dd t}{t} \, , \ \ x > 0 \end{align*}$

Dann sind $\begin{align*} L'(x) = \frac{1}{x} \end{align*}$ und $\begin{align*} L(1)=0 \end{align*}$ von vorneherein klar. Ist $\begin{align*} u>0 \end{align*}$ ein Parameter, so folgt

$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd x} L(ux) = \frac{1}{ux} \cdot u = \frac{1}{x} \end{align*}$ ,

womit $\begin{align*} L(ux) - L(x) \end{align*}$ konstant sein muß, etwa $\begin{align*} L(ux) - L(x) = c \end{align*}$ . Speziell mit $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ erhält man hieraus $\begin{align*} L(u) = c \end{align*}$ . Damit besteht für alle $\begin{align*} u,x>0 \end{align*}$ die Funktionalgleichung

$\begin{align*} L(ux) = L(u) + L(x) \end{align*}$

Diese charakterisiert aber die Logarithmusfunktionen. (Diese Tatsache kann man aus der Lösung der Cauchyschen Funktionalgleichung durch eine simple Transformation erhalten.)

Nun definiert man die Zahl $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ durch die Gleichung

$\begin{align*} L(\operatorname{e}) = \int_1^{\operatorname{e}} \frac{\dd x}{x} = 1 \end{align*}$

woraus sich $\begin{align*} L(x) = \log_{\operatorname{e}}(x) \end{align*}$ ergibt. Und so hat man über die Umkehrfunktion auch die e-Funktion gewonnen.

28.11.2022, 05:04

Phenix

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Es ist oft schwer unnötig komplizierte Wege zu meiden …
… deshalb, trotz allem:

die Stammfunktion zu

f(x) = 1/x

ist

F(x) = ln(|x|) + C

28.11.2022, 05:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Stammfunktion zu f(x)=1/x

Zitat:

Original von 142421
Wieso ist das Integral von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \ln(|x|) \end{eqnarray*}$ ?

Weil ich nicht päpstlicher sein kann als der Papst (oder Leopold) Big Laugh

, biete ich mal folgende Antwort an:

Sei $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \ln x \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} e^y=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^y=\frac{\dd x}{\dd y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\dd x}{\dd y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x}=\frac 1x \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Das gleiche nun mit umgekehrten Vorzeichen:

Sei $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \ln (-x) \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} e^y=-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^y=\frac{\dd x}{\dd y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\dd x}{\dd y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x}=\frac 1x \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \ln (-x) \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ gezeigt.
Beide Fälle vereint ergeben $\begin{eqnarray*} \ln |x| \end{eqnarray*}$ als Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ .

28.11.2022, 08:32

HAL 9000

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@Phenix

Wie lautet dann deine Antwort auf die Frage:

Gibt es eine auf dem Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ definierte Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ mit den Werten $\begin{eqnarray*} F(1)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F(-1)=-1 \end{eqnarray*}$ ?

28.11.2022, 08:53

Leopold

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RE: Es ist oft schwer unnötig komplizierte Wege zu meiden …

Zitat:

Original von Phenix
… deshalb, trotz allem:

die Stammfunktion zu

f(x) = 1/x

ist

F(x) = ln(|x|) + C

Das ist schlicht und einfach falsch.

28.11.2022, 09:01

Ulrich Ruhnau

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RE: Es ist oft schwer unnötig komplizierte Wege zu meiden …

Zitat:

Original von Phenix
Wurde die Mathematik erfunden oder entdeckt?

Alle Gesetze der Mathematik, die heute bekannt sind, wurden entdeckt. Aber die mathematischen Zeichen ( $\begin{eqnarray*} +-\cdot \,/... \end{eqnarray*}$ ) und Begriffe wurden erfunden.

28.11.2022, 09:07

Leopold

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RE: Es ist oft schwer unnötig komplizierte Wege zu meiden …

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Phenix
Wurde die Mathematik erfunden oder entdeckt?

Alle Gesetze der Mathematik, die heute bekannt sind, wurden entdeckt. Aber die mathematischen Zeichen ( $\begin{eqnarray*} +-\cdot \,/... \end{eqnarray*}$ ) und Begriffe wurden erfunden.

Papst Ulrich der Vorletzte hat gesprochen. So sei es. In Ewigkeit. Amen.

Für Zweifler an der Unfehlbarkeit: Über diese Frage haben sich schon viele Mathematiker den Kopf zerbrochen. Und darunter nicht die schlechtesten. Es hängt vom philosophischen Standpunkt ab, zu welchen Antworten und gegebenenfalls Nichtantworten man kommt.

28.11.2022, 09:10

Leopold

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Alles hängt vom Aufbau der Theorie ab. Ist die e-Funktion mit ihren elementaren Eigenschaften bekannt, kann man den Weg von Ulrich Ruhnau einschlagen. Kennt man die e-Funktion noch nicht, weiß aber das Wichtigste über Integrale, insbesondere den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, kann man den von mir beschriebenen Aufbau wählen. Andere Möglichkeiten, wie etwa von URL skizziert, sind denkbar.

Kurzum: Ohne Zusatzinformationen des Fragestellers ist seine Anfrage schlicht nicht beantwortbar.

28.11.2022, 09:49

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
Ist die e-Funktion mit ihren elementaren Eigenschaften bekannt, kann man den Weg von Ulrich Ruhnau einschlagen.

Was war zuerst da - die Potenz oder der Logarithmus?
Was war früher bekannt - die Eulersche Exponentialfunktion oder der durch sie definierte natürliche Logarithmus?

Fragen wir doch mal 142421 welche Antwort Ihm oder Ihr am besten gefällt !

28.11.2022, 10:06

Leopold

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Onkel Leopold kann dir auf die Schnelle nicht helfen. Frag bei Onkel Leonhard nach.

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Er befindet sich aktuell in Sankt Petersburg. Die Reise dorthin kann zur Zeit nur unter erschwerten Bedingungen angetreten werden.

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