Jede reelle Zahl ist Häufungspunkt der Folge

27.11.2022, 13:12	plshlp2	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede reelle Zahl ist Häufungspunkt der Folge Meine Frage: Hallo zusammen, ich soll die folgende Aufgabe beweisen (siehe Bild) Meine Ideen: Mein Einsatz: In jeder Umgebung von $\begin{eqnarray} r \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ liegen unendlich viele rationale Zahlen (da Q dicht in R ist), d.h: $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N}: \exists \infty - \text{ viele } q \in \mathbb{Q} \cap [r-\frac{1}{n},r+\frac{1}{n}] \end{eqnarray}$ Daraus folgt aber auch: $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N}: \exists \infty - \text{ viele } i \in \mathbb{N}: f(i) \in \mathbb{Q} \cap [r-\frac{1}{n},r+\frac{1}{n}] \end{eqnarray}$ . Das bedeutet r muss ein Häufungspunkt von der Folge f(i) sein, da unendlich viele Folgenglieder in der Umgebung existieren. Passt das so? Oder fehlt noch was ?
27.11.2022, 14:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jede reelle Zahl ist Häufungspunkt der Folge Das passt so. Üblicher argumentiert man mit $\begin{eqnarray} ( r - \epsilon, r + \epsilon) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \left[ r - \frac 1 n,r + \frac 1 n\right] \end{eqnarray}$ . Zusammen mit dem Prinzip von Archimedes sind aber beide leicht ineinander überführbar.
27.11.2022, 14:29	plshlp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jede reelle Zahl ist Häufungspunkt der Folge Ahh okay. Das bedeutet ich müsste eigentlich den Beweis wie folgt aufschreiben: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0: \exists \infty - \text{ viele } q \in \mathbb{Q} \cap (r-\epsilon,r+\epsilon) \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0: \exists \infty - \text{ viele } i \in \mathbb{N}: f(i) \in \mathbb{Q} \cap (r-\epsilon,r+\epsilon) \end{eqnarray}$ . So oder?
27.11.2022, 16:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jede reelle Zahl ist Häufungspunkt der Folge Du kannst, du musst nicht. Ich finde deinen Beweis auch so in Ordnung. Schau dir am besten an, wie ihr die verschiedenen Begriffe definiert habt (Häufungspunkt, Dichte usw.) und nimm das, was direkter mit eurer Definition zusammen hängt

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