Funktionentheorie: konforme Abbildungen

27.11.2022, 15:23	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionentheorie: konforme Abbildungen Ich habe folgende Aufgabe gegeben: Es sei $\begin{eqnarray} f(z)=z^2, G=\left\{z: Re z > 0 \right\}, G_1=\left\{\frac{\pi}{4} < arg z < \frac{3\pi}{4} , 0 < \|z\| < 2\right\} \end{eqnarray}$ . Bestimme $\begin{eqnarray} f(G) \end{eqnarray}$ & $\begin{eqnarray} f(G_1) \end{eqnarray}$ und zeige das G und $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ durch f konform abgebildet werden. Außerdem berechnen Sie die Bildkurven der folgenden Kurven in G: -Halbkreise um den Nullpunkt -vom nullpunkt ausgehende Strahlen - Parallelen zur reelen und imaginären Achse Definition: Man nennt eine stetig Differenzierbare Abbildung $\begin{eqnarray} f:G \rightarrow \end{eqnarray}$ eines Gebietes $\begin{eqnarray} G \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ lokal konform, wenn sie glatte Wege in glatte Wege überführt (dann hat sie lokal eine stetige differenzierbare Umkehrung) und in jedem Punkt G winkel- und orientierungstreu ist. Man nennt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konform, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ lokal konform und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray} f(G) \end{eqnarray}$ abbildet. Meine Überlegungen: 1) Im Gebiet G befinde ich mich im I und IV Quadrant ohne (imaginäre Achse), wenn nun f(G) berechne befinde ich mich nur noch im ersten Quadranten (wie zeige ich das rechnerisch ?) 2) Im Gebiet $\begin{eqnarray} G-1 \end{eqnarray}$ da bedeutet die jetzte Seite ja das z aus (-2,2) und für $\begin{eqnarray} f(G_1) \end{eqnarray}$ dann ja (0,4) wäre oder? aber was ist mit arg(z)? 3) Wie gehe bei den Kurven dran? Halbkreis um Nullpunkt in G, wäre ja bspw. von $\begin{eqnarray} (3/2 \pi \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \pi) \end{eqnarray}$ oder? $\begin{eqnarray} f(z)= re^{it} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in (3/2 \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi) \end{eqnarray}$ Hoffe mir kann da wer helfen Danke schonmal
09.12.2022, 21:22	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir keiner da helfen? Vielleicht sagen, ob meine Überlegungen, Ansätze richtig sind? Tipps? Danke schonmal
10.12.2022, 00:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{align} z \mapsto z^2 \end{align}$ quadriert den Betrag und verdoppelt das Argument. Man kann die rechte Halbebene $\begin{align} \operatorname{Re}(z) > 0 \end{align}$ auch durch $\begin{align} - \frac{\pi}{2} < \arg(z) < \frac{\pi}{2} \end{align}$ beschreiben. Für solche $\begin{align} z \end{align}$ gilt damit $\begin{align} - \pi < \arg \left( z^2 \right) < \pi \end{align}$ . Das Bild von $\begin{align} G \end{align}$ ist daher die längs der negativen reellen Achse aufgeschlitzte komplexe Ebene: $\begin{align} f(G) = \mathbb{C} \setminus \left\{ \, x \in \mathbb{R} \, \left\| \, x \leq 0 \, \right. \right\} \end{align}$ Der Bereich $\begin{align} G_1 \end{align}$ ist ein rechtwinkliger offener Kreissektor vom Radius 2. Seine Begrenzungsradien liegen auf den Winkelhalbierenden des I. und II. Quadranten. Wenn nun durch das Quadrieren die Argumente verdoppelt und die Beträge quadriert werden, welchen Bereich erhält man dann bei $\begin{align} f \left( G_1 \right) \end{align}$ ? EDIT Im Anhang habe ich eine dynamische Euklid-Zeichnung ergänzt, die die Abbildung $\begin{align} w = f(z) = z^2 \end{align}$ veranschaulicht. Speziell sieht man die Bilder der Mengen der Aufgabe.

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