Primitive Polynome aus K[x]

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Catrin von Bubi Auf diesen Beitrag antworten »
Primitive Polynome aus K[x]
Meine Frage:
Wir sind in K[x] mit K=beliebiger Körper.
Welche Polynome aus K[x] sind in K[x] primitiv? Beweise.
Welche Polynome aus K[x] sind in K[x] primitiv? Beweise.


Meine Ideen:
Die Definition primitiver Polynome in faktoriellen Ringen ist mir klar. Da aber in jedem Körper alle Elemente außer die Null Einheiten sind, komme ich mit dieser Definition nicht weiter. Ich weiß, dass in K[x] jedes Minimalpolynom primitiv ist.
P.S.: Der Stand unserer VL ist derzeit so, dass wir mit Erweiterungskörpern begonnen haben.
Willien Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Polynome P(x) in K[x] sind primitiv, wenn sie einen Faktor haben, der die Form x^n - c hat, wobei c ein Element von K ist. Dieser Faktor ist der höchste gemeinsame Faktor von P(x) und P'(x), und die Bedingung ist notwendig und ausreichend, um P(x) als primitiv zu bezeichnen.

Um zu beweisen, dass jedes Polynom P(x) in K[x] primitiv ist, wenn es einen Faktor hat, der die Form x^n - c hat, müssen wir zunächst beweisen, dass x^n - c der höchste gemeinsame Faktor von P(x) und P'(x) ist.

Beweis: Da x^n - c die höchste gemeinsame Potenz von x ist, die in P(x) und P'(x) vorkommt, muss jeder gemeinsame Faktor von P(x) und P'(x) eine Potenz von x^n - c sein. Daher ist x^n - c der höchste gemeinsame Faktor von P(x) und P'(x).

Da x^n - c der höchste gemeinsame Faktor von P(x) und P'(x) ist, ist es notwendig und ausreichend, dass P(x) einen Faktor hat, der die Form x^n - c hat, um P(x) als primitiv zu bezeichnen. Daher sind alle Polynome P(x) in K[x] primitiv, wenn sie einen Faktor haben, der die Form x^n - c hat, wobei c ein Element von K ist.
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