Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)

28.11.2022, 20:39

matthias_1981

Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)

Hallo.

Ich habe gegeben:

1) Einen Strahl, der in einem Punkt S beginnt, und in eine Richtung D zeigt, die durch einen Winkel in Grad (oder Bogenmaß) definiert ist.

2) Einen Kreis, der den Mittelpunkt M und den Radius R hat.

Hinweis: S liegt immer IN dem Kreis.

Das Ganze im 2D-Raum, d. h. S und M bestehen jeweils aus einer x- und y-Koordinate und D und R sind jeweils einfach eine Zahl.

FRAGE: wie berechne ich die x- und y-Koordinate, an der der Strahl den Kreis schneidet?

Google lieferte nichts, was mir die endgültige Lösung meines Problems brachte.

Danke Freunde.

[attach]56416[/attach]

28.11.2022, 21:03

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Du hast es ja in Schulmathematik gepostet, von daher ist die folgende Idee vielleicht zu weit gegriffen:
Der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sei bekannt. Dann ist
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) = \cos(\vec{v}, \vec{e_1}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{e_1} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) = \frac{\vec{v}\cdot\vec{e_1}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{e_1}||} \end{eqnarray*}$ . ObDa können wir annehmen, der Vektor v sei normiert, also $\begin{eqnarray*} ||\vec{v}|| = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt sich die x-Koordinate des Vektors v als $\begin{eqnarray*} v_x = \cos(\alpha)\cdot 1 \end{eqnarray*}$ . Die y-Koordinate erhalten wir über $\begin{eqnarray*} v_x^2 + v_y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Damit hätten wir den Richtungsvektor, können den Strahl damit beschreiben und den Schnittpunkt mit dem Kreis berechnen.

Es geht sicherlich viel leichter, was mir aber gerade auch nicht einfallen will.

28.11.2022, 21:09

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)

Zitat:

Original von matthias_1981
1) Einen Strahl, der in einem Punkt S beginnt, und in eine Richtung D zeigt, die durch einen Winkel in Grad (oder Bogenmaß) definiert ist.

Da würde ich vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_S \\ y_S \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

2) Einen Kreis, der den Mittelpunkt M und den Radius R hat.

Für diesen Kreis muß gelten:

$\begin{eqnarray*} \left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=R^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

FRAGE: wie berechne ich die x- und y-Koordinate, an der der Strahl den Kreis schneidet?

Das sind jetzt zwei Gleichungen für den Strahl, die ich in die eine Gleichung für den Kreis einsetzen würde, um zunächst t und darüber x und y zu bestimmen.
Es läuft auf eine quadratische Gleichung hinaus, die zwei Lösungen für t haben muß, da der Punkt S im Kreisinneren liegt.

Ein Hinweis noch zur Vereinfachung: Ich würde die Hilfskonstanten $\begin{eqnarray*} a=x_S-x_M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=y_S-y_M \end{eqnarray*}$ einführen.

28.11.2022, 22:02

matthias_1981

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)
Danke für Eure hilfreichen Antworten. Eine Frage an Ulrich:

Wenn ich x und y in die Kreisgleichung einsetze, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} <br /> ((x_S + t * cos(\varphi)) - x_M)² + ((y_S + t * sin(\varphi)) - y_M)² = R²<br /> \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das nach t auf?

D. h. wie kriege ich die beiden ² auf der linken Seite weg?

Sorry, Schule ist schon länger her, hab's vergessen smile

28.11.2022, 22:31

matthias_1981

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)
Ok, einfach die Quadrate ausmultiplizieren. Bin schon etwas müde Augenzwinkern

28.11.2022, 22:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausmultiplizieren, zusammenfassen: Dann steht da eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , mit folgender geometrischer Interpretation der Lösungen (mit "Gerade" meine ich die Gerade, auf der der bewusste Strahl liegt, d.h., dessen Verlängerung auch auf der "anderen" Seite des Ausgangspunktes):

1.Fall: Keine reellen Lösungen

Das bedeutet, dass die Gerade den Kreis gar nicht schneidet.

2.Fall: Genau eine reelle Lösung

Das bedeutet, dass die Gerade den Kreis tangiert.

3.Fall: Genau zwei reelle Lösungen

Das bedeutet, dass die Gerade den Kreis in zwei Punkten schneidet.

Lösungen $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ gehören zu Punkten auf dem Strahl, die mit $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ zum "Rest" der Geraden außerhalb des Strahls.

P.S.: Wenn du mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ immer innerhalb des Kreises startest (wie deine anfänglichen Skizzen suggerieren), dann liegt stets der dritte Fall vor mit jeweils genau einer positiven und einer negativen reellen Lösung $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

29.11.2022, 06:32

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)

Zitat:

verbessertes Original von matthias_1981
$\begin{eqnarray*} <br /> ((x_S + t\cos\varphi) - x_M)² + ((y_S + t\sin\varphi) - y_M)² = R²<br /> \end{eqnarray*}$

Sehr gut soweit! Aber es geht noch weiter.

Die beiden inneren Klammern können weggelassen werden.
$\begin{eqnarray*} x_S-x_M = a \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y_S-y_M=b \end{eqnarray*}$ setzen !
Die quadratischen Klammerausdrücke ausmultiplizieren !
Dabei $\begin{eqnarray*} \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1 \end{eqnarray*}$ verwenden !
Dann nach t auflösen !

Neue Frage »

Antworten »

Schnittpunkt Strahl (Startpunkt, Winkel) und Kreis (Mittelpunkt, Radius)

Verwandte Themen