Lebesgue-Integrierbarkeit |
30.11.2022, 16:00 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lebesgue-Integrierbarkeit Wir sollen zeigen, dass und f(x)=0 sonst Lebesgue-integrierbar ist, indem wir eine folge monoton steigender Treppenfunktionen finden, die Punktweise gegen f(x) konvergieren. Meine Idee: Ich dachte ich könnte die Treppenfunktionen wie folgt definieren T1(x)=1 für x in (0,1] T2(x)=1 für x in (0,1/2] und T2(x)=\sqrt(2) für x in (1/2,1] T3(x)=1 für x in (0,1/3] und T3(x)=sqrt(2) für x in (1/3,2/3] und T3(x)=sqrt(3) für x in (2/3,1] usw. Dann hätte ich eine folge von Treppenfunktion die punktweise gegen f(x) konvergiert für n-> unendlich. Mein Tutor meinte aber ganz so würde es nicht funktionieren, wegen der Monotonie... Das seh ich leider nicht, Die gesamtfläche meiner Treppenfunktionen müsste doch monoton wachsend sein, oder? Wo ist also mein Denkfehler und wie kann ich das Problem geschickter angehen? Grüße, eure HiBee |
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03.12.2022, 15:37 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum einen hast du einen Links-Rechtsdreher. Das wäre eine Approximation für . So ist z.b. und und offenbar . "Richtiger" wäre
Zum anderen landen auch so die Treppenfunktionen über der Funktion: . Anstatt die Treppenfunktionen zu "verschieben", würde ich die immer weiter teilen. D.h. genauso starten wie du
Und dann . Du kannst nachrechnen, dass es bei übereinstimmt. In jedem Schritt werden alle Blöcke halbiert, der linke Block vergrößert und der rechte bleibt auf seiner Höhe. |
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04.12.2022, 18:17 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo IfindU, Danke für deine Antwort. Tatsächlich habe ich die Aufgabe dann auch so ähnlich gelöst.Ich glaube ich sehe auch den Vorteil zu meinem anfänglichen Vorgehen: Durch das Teilen der Intervalle kann man die Monotonie leichter berechnen, als durch das verschieben, oder? Gruß, HiBee |
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04.12.2022, 18:43 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch das Verschieben Richtung kleinerer Funktionswerte, musst du die Treppenfunktionen auch kleiner wählen. Das geht dann nicht mit Monotonie bzw. musst du sehr sorgsam sein, an welche Stelle du sie schiebst. |
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04.12.2022, 19:35 | HiBee123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay. Ja ich sehe ein : mein erster Ansatz war nich ganz zielführend... Danke |
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