Zeige exp(iA) = cos(A) +i sin(A)

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Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige exp(iA) = cos(A) +i sin(A)
Meine Frage:
Zeige, dass für jedes A in Rd×d die Beziehung exp(iA) = cos(A) + i sin(A) gilt, wenn man cos(A) und sin(A) ebenfalls durch die jeweiligen Potenzreihen definiert.

Meine Ideen:
Ich würde zuerst exp(iA) in Summenschreibweise nehmen, diese Summe dann in gerade und ungerade Teilen, dass i aus der Summe ziehen und dann die def. von Sinus/Cosinus in Summenschreibweise nutzen um die Gleichheit zu erhalten. Jetzt wunder ich mich nur ein bisschen, weil wir genau diesen Beweis schonmal auf einem Übungsblatt hatten. Nur eben nicht mit Matrizen. Kann ich bei Matrizen nicht wie oben beschrieben vorgehen ? Danke für eure Hilfe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das geht analog, man muss "nur" den Konvergenzbegriff erweitern. Wenn man wie in der Funktionentheorie sin und cos über exp definiert, kann man das auch sofort nachrechnen.
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