Dirac-Maß

01.12.2022, 14:53

HiBee123

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Dirac-Maß

Hallo Matheboard,

folgendes soll ich zeigen. (Siehe Anhang)

Als Tipp dazu habe ich gegeben, dass ich erst eine Idikatorfunktion , dann eine Treppenfunktion, dann eine positiv messbare Funktion und schließlich eine Integrierbare Funktion finden soll.

Wie mach ich das? Und wie hilft das weiter?

Dankbar für Hilfe,
Grüße,
eure HiBee

01.12.2022, 18:30

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Okay Moment. Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gespottet...

Ich soll nicht Indikatorfunktionen finden, so dass das gilt, sondern ich soll zeigen, dass das für alle Indikatorfunktionen gilt, oder?

01.12.2022, 20:51

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Wenn man jetzt eine Treppenfunktion hat, dann addiert man doch über alle Werte mal dem Maß der Urbildmenge, aber das Maß der Urbildmenge ist immer 0 wenn es nicht s ist (so ist ja das Diracmaß definiert) also bleibt nur f(s) übrig, oder?

Ist das die Grundidee?

?

02.12.2022, 12:04

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Ist die Aufgabe so schwierig? Oder habe ich die Matheboardcommunity verärgert??
Jedenfalls für Indikatorfunktionen dürfte die Aussage schonmal gelten, denn für $\begin{eqnarray*} \mathbb{1}_A=f(x) \end{eqnarray*}$ Dann gilt für das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{S}\! \mathbb{1}_A= \mathbb{1}_A (s)\cdot 1 (für s\in f^{-1})+ \mathbb{1}_A (s)\cdot 0 (für s\notin f^{-1}) \end{eqnarray*}$
Und dann noch eine Fallunterscheidung und die Aussage müsste für Indikatorfunktionen gezeigt sein...

03.12.2022, 15:46

IfindU

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RE: Dirac Maß
Die Idee des Beweises wird Maßtheoretische Induktion genannt. Die Idee: Zeig es erst einmal für alle Indikatorfunktionen, dann für alle einfachen Funktionen und dann für alle positiven Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Anschließend für allgemeine $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Hier gilt nach Definition des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_S \mathbb {1}_A d \delta_s = \delta_s(A) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } s \in A \\ 0 & \text{ falls } s \not\in A\end{cases} \end{eqnarray*}$ mit der Definition des Dirac-Maßes am Ende.

Jetzt kann man gucken, dass nach Definition der charakteristischen Funktion gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb {1}_A(s) =\begin{cases} 1 & \text{ falls } s \in A \\ 0 & \text{ falls } s \not\in A\end{cases} \end{eqnarray*}$ , also das gleiche. Demnach gilt $\begin{eqnarray*} \int_S \mathbb {1}_A d \delta_s = \delta_s(A) = \begin{cases} 1 & \text{ falls } s \in A \\ 0 & \text{ falls } s \not\in A\end{cases} = \mathbb {1}_A(s) \end{eqnarray*}$ oder kurz: $\begin{eqnarray*} \int_S \mathbb {1}_A d \delta_s = \mathbb {1}_A(s) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man es für einfache Funktionen zeigen (Linearität). Spannender ist es für die postiven Funktionen zu zeigen.

04.12.2022, 19:34

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Okay, also dass mit der Indikatorfunktion habe ich jetzt verstanden. Wählen wir also eine Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{k=1}^{n} c_n \chi_n \end{eqnarray*}$ dann ist nach Definition $\begin{eqnarray*} \int_{S} \sum\limits_{k=1}^{n} c_n \chi_n d\mu= \int_{S} \sum\limits_{k=1}^{n} c_n \chi_n d\delta_s= \sum\limits_{k=1}^{n} c_n \delta_s(\chi_n\cap S)= \sum\limits_{s\in \chi_n}^{} c_n \end{eqnarray*}$ und wieso soll dass jetzt das gleiche sein wie f(s)?
Überhaupt bin ich mir unsicher, wie f(s) überhaupt definiert ist... bei uns im Skript steht meistens nur f als Funktion. Ist f(s) Dann die Funktion MAL s? Das würde hier aber keinen Sinn ergeben...

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05.12.2022, 13:18

IfindU

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RE: Dirac Maß
$\begin{eqnarray*} f(s) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ausgewertet an der Stelle $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , so wie z.B. $\begin{eqnarray*} \sin(\pi) \end{eqnarray*}$ der Wert der Sinus-Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

Als erster Schritt würde ich $\begin{eqnarray*} \chi_n = \mathbf 1_{A_n} \end{eqnarray*}$ fordern, mit $\begin{eqnarray*} (A_k) \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt und $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k} A_k = S \end{eqnarray*}$ . Jede einfache Funktion besitzt so eine Darstellung.

Dann gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \in A_k \end{eqnarray*}$ . Nennen wir den entsprechenden Index $\begin{eqnarray*} k_s \end{eqnarray*}$ . Dann ist nach Definition des Integrals
$\begin{eqnarray*} \int_S \sum_{k=1}^n c_k \mathbf 1_{A_k} d \delta_s = \sum_{k=1}^n c_k \delta_s(A_k) \end{eqnarray*}$ .

Die Summe wird zu einem einzigen Summanden nach Definition des Dirac-Maßes. (Welcher?) Den Term kann man wieder als Integral mit dem Delta-Maß ausdrücken und dann benutzen, was man schon über das Integral einer charakteristischen Funktion weiß. Wie weit kommst du damit?

05.12.2022, 18:55

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Die Summe schrumpft zusammen zu $\begin{eqnarray*} c_s \mathbb{1}_{A_s} \end{eqnarray*}$ und dann führt man dass auf die Aussage zuvor mit der Indikatorfunktion zurück und hat die Aussage für beliebige Treppenfunktionen gezeigt.

05.12.2022, 19:11

IfindU

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RE: Dirac Maß
Es müsste $\begin{eqnarray*} c_{k_s} \mathbb{1}_{A_{k_s}} \end{eqnarray*}$ formal korrekt lauten. Kannst du die Aussage auch via Gleichungen begründen?

05.12.2022, 21:39

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Ja klar. Wir hatten ja vorher die A_k so gewählt, dass sie disjunkt sind, Das heißt ja genau das s nur in einem einzigen A_k ( $\begin{eqnarray*} A_{k_s} \end{eqnarray*}$ ) sein kann. überall sonst ist das Diracmaß null, deshalb kann man die Summanden auch einfach weglassen.

06.12.2022, 09:18

IfindU

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RE: Dirac Maß
Genau. Kannst du denn jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \int_S f d\delta_s = \int_S \sum_{k=1}^n c_k \mathbf 1_{A_k} d \delta_s = \sum_{k=1}^n c_k \delta_s(A_k) = \ldots = f(s) \end{eqnarray*}$ ?

06.12.2022, 20:09

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Ja wenn f Treppenfunktion dann schon. Die ersten zwei Gleichungen gelten nach Definition. Dann schrumpft die Summe auf eine Indikatorfunktion zusammen und für Indikatorfunktionen ist die Aussage schon am Anfang der Induktion gezeigt.

07.12.2022, 09:30

IfindU

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RE: Dirac Maß
Sehr gut. Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nun nicht-negativ und messbar. Schau dir mal den Link an mit der Theorie zur Maßtheoretischen Induktion. Versuch mal es auf deinen Fall umzumünzen.

07.12.2022, 14:31

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Okay. Wenn wir eine messbare positive Funktion haben, lässt diese sich durch Treppenfunktionen, die monoton wachsen, annähern
Wir haben also $\begin{eqnarray*} f=\lim_{n \to \infty} f_n \end{eqnarray*}$ Jetzt ist die Frage wie wir den Limes in das Integral reinziehen dürfen.
ganz naiv würde ich es so probieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{S}^{} f d \delta_s=\int_{S}^{} (\lim_{n \to \infty} f_n) d \delta_s=\int_{S}( \lim_{n \to \infty} f_n d \delta_s) \end{eqnarray*}$ und jetzt wissen wir, dass die Aussage "=f(s)" für jedes Glied stimmt, also muss sie auch für den Limes gelten... aber das scheint mir zu leicht...

07.12.2022, 14:53

IfindU

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RE: Dirac Maß
$\begin{eqnarray*} \int_{S}^{} f d \delta_s=\int_{S}^{} (\lim_{n \to \infty} f_n) d \delta_s=\lim_{n \to \infty}\int_{S} f_n d \delta_s = \lim_{n \to \infty} f_n(s) \end{eqnarray*}$ erst einmal. Hier fehlt noch ein Schritt, damit wir die Aussage bekommen.

07.12.2022, 15:21

HiBee123

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RE: Dirac Maß

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \int_{S}^{} f d \delta_s=\int_{S}^{} (\lim_{n \to \infty} f_n) d \delta_s=\lim_{n \to \infty}\int_{S} f_n d \delta_s = \lim_{n \to \infty} f_n(s) \end{eqnarray*}$

Steht es jetzt nicht da? Wir wissen doch, dass limes n->unendlich f_n= f ist, und damit ist dann limes n-> unendlich f_n(s)=f(s). Welcher schritt soll denn da noch fehlen?

Jedenfalls fehlt noch Schritt 4 für allgemeine meßbare Funktionen. Dafür teilen wir die Funktion in Negativanteil und positiv Anteil auf. also
$\begin{eqnarray*} \int_{S}^{} f d \delta_s=\int_{S}^{} f^{+} d \delta_s-\int_{S}^{} f^{-}d \delta_s \end{eqnarray*}$ Mit dem was wir gerade gezeigt haben, gilt
$\begin{eqnarray*} \int_{S}^{} f^{+} d \delta_s-\int_{S}^{} f^{-}d \delta_s=f^{+}(s)-f^{-}(s)=f(s) \end{eqnarray*}$ was zu zeigen war, oder übersehe ich hier etwas?

07.12.2022, 15:42

IfindU

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RE: Dirac Maß

Zitat:

Original von HiBee123

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \int_{S}^{} f d \delta_s=\int_{S}^{} (\lim_{n \to \infty} f_n) d \delta_s=\lim_{n \to \infty}\int_{S} f_n d \delta_s = \lim_{n \to \infty} f_n(s) \end{eqnarray*}$

Steht es jetzt nicht da? Wir wissen doch, dass limes n->unendlich f_n= f ist, und damit ist dann limes n-> unendlich f_n(s)=f(s). Welcher schritt soll denn da noch fehlen?

Woher wissen wir das denn? Es gibt (!) eine Folge von einfachen Funktionen, die punktweise überall gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in dem Sinne konvergiert. Das muss aber nicht gelten. Also dort ist es kritisch, dass wir die richtige Folge nehmen.

Und der Rest passt. Mag sein, dass ich etwas pedantisch bin, aber wenn der Beweis so kurz und elementar ist, finde ich jedes Detail muss sitzen.

07.12.2022, 16:16

HiBee123

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RE: Dirac Maß

Zitat:

Original von IfindU
Mag sein, dass ich etwas pedantisch bin, aber wenn der Beweis so kurz und elementar ist, finde ich jedes Detail muss sitzen.

Ist schon gut. smile

smile

Ich wills ja schließlich auch verstehen!

Also gut. Wenn es genau eine Folge f_n gibt, die gegen f konvergiert, dann wählen wir halt genau die, oder? Und dann gilt die Gleichung per Definition.

07.12.2022, 16:18

IfindU

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RE: Dirac Maß
Dass es so eine Folge gibt, ist ein Satz/Lemma. Die Aussage ist immer praktisch, weil man dann eine besonders schöne Folge nehmen kann. Ich gehe stark davon aus, dass ihr das bewiesen habt.

Bei der Aufgabe Lebesgue-Integrierbarkeit solltet ihr ja genau so eine Folge für ein Beispiel angeben.

07.12.2022, 16:45

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Freude

Freude

Jupp, das dürfte DIESER Satz sein (siehe Anhang)

Lieben Dank für die Hilfe, Im Prinzip mussten wir nur die Aussage für Indikatorfunktionen zeigen und haben dann alles darauf zurückgeführt... Das ist dann diese Induktionsmethode...

07.12.2022, 16:53

IfindU

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RE: Dirac Maß
Genau der Satz Freude

Freude

07.12.2022, 17:21

HiBee123

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RE: Dirac Maß
Okay prima. Danke Wink

Wink

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