Quotientenkörper zum Ring der ganzen Gaußschen Zahlen |
| 01.12.2022, 15:37 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Quotientenkörper zum Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Wir haben Q als Quotientenkörper zu Z entwickelt, ich weiß jedoch nicht, wie ich diesen Beweis entlang der Eigenschaften von Quotientenkörpern führen muss und bitte um Hilfe. Viele Grüße Catrin von Bubi |
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| 01.12.2022, 18:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Berechne mit |
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| 01.12.2022, 19:25 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich mit dem konjugierten vom Nenner erweitere, erhalte ich |
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| 01.12.2022, 19:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du darfst nicht auf halbem Wege stehen bleiben. Löse den Bruch auf in x+iy. Was weißt du über x und y ? (Was zu zeigen war.) |
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| 01.12.2022, 19:43 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich kann den Bruch noch in eine Differenz umwandeln, so dass ich eine Struktur wie eine komplexe Zahl habe. Wie hilft mir das weiter? |
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| 01.12.2022, 19:46 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
x und y sind dann Brüche, mit denen ich rationale Zahlen darstellen kann. |
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| 01.12.2022, 19:52 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und damit ist Q(i) = x+iy mit x, y Elemente von Q. Das reicht doch aber nicht als Beweis? |
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| 01.12.2022, 21:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die rationalen Zahlen sind Brüche ganzer Zahlen, die rationalen Zahlen sind ein Körper, also der Quotientenkoerper der ganzen Zahlen. Die Gaußschen Zahlen sind Brüche ganzer Gaußscher Zahlen, die Gaußschen Zahlen sind ein Körper, also... |
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| 02.12.2022, 11:15 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
...der Quotientenkörper der ganzen Gaußschen Zahlen. Ich verstehe das, was wir bis hier gerechnet habe, als Nachweise eines Monomorphismus vom Ring der ganzen Gaußschen Zahlen in den Körper der Gaußschen Zahlen. Wie weise ich die weiteren Eigenschaften des Quotientenkörpers nach? - dass Q(i) durch den Ring und diese Monomorphismuseigenschaft bis auf Körperisomorphie eindeutig bestimmt ist - diese dritte Eigenschaft mit dieser Monomorphismuserweiterung, die ich leider überhaupt nicht verstehe Viele Grüße Catrin von Bubi |
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| 02.12.2022, 13:22 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wir haben bewiesen, dass der Quotientenkörper in enthalten ist. Die Umkehrung ist wegen trivial. Also . Kompliziertere Definitionen haben nur den Zweck, dass man die Existenz und Eindeutigkeit des Quotientenkörpers zu einem nullteilerfreien kommutativen Ring beweisen kann. Praktisch genügt es, einen möglichst kleinen Körper anzugeben, der genau die Quotienten des Rings enthält. |
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| 02.12.2022, 13:38 | Catrin von Bubi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, das verstehe ich und werde es mal so in die Waagschale werfen. Danke und einen schönen 2. Advent. Herzlich Catrin von Bubi |
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| 02.12.2022, 14:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du es hübsch elegant, vollständig und richtig formulierst, wird es gewogen und nicht für zu leicht befunden werden. 
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