Fleischeinwaage

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01.12.2022, 19:53	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Fleischeinwaage Guten Tag, die folgende Aufgabe bereitet mir Probleme: Die auf Rindfleischdosen angegebene Fleischeinwaage von Mü= 400 g kann nicht exakt eingehalten werden, vielmehr schwankt sie zufällig mit einer Standardabweichung von Sigma = 20. Außerdem kann davon ausgegangen werden, dass die Fleischeinwaage in den einzelnen Dosen unabhängig ist. Nun wird die Zufallsvariable X = "Summe der Fleischeinwaage von vier Dosen" betrachtet. 1)Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. 2)Berechnen Sie unter Verwendung der Ungleichung von Tschebyscheff eine untere Grenze für die 3)Wahrscheinlichkeit, dass X um höchstens 60 g von seinem Erwartungswert abweicht. Berechnen Sie die o. a. Wahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Fleischeinwaage einer Dose normalverteilt ist. Meine Vorgehensweise: 1) E(x)=4400g=1600g V(x)=420^2=1600g 2) $\begin{eqnarray} P\|(X-1600)<60\| \geq 1-\frac{1600}{3600} <br /> P\|(X-1600)<60\| \geq 0,55555<br /> P\|(X-1600)<60\| \geq 55,55% \end{eqnarray}$ Hierzu gibt es im Skript aber auch noch die Formel: $\begin{eqnarray} P(mü-ksigma\leq x\leq mü+ksigma)\geq 1-\frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(mü-ksigma\leq x\leq mü+ksigma)\geq 2phi(k)-1<br /> \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, inwieweit mir diese Formeln weiterhelfen sollen. 3) $\begin{eqnarray} P(X<61)=phi(\frac{61-1600}{40})=phi(-38,48)=0 \end{eqnarray*}$ Also offensichtlich ist da irgendetwas falsch, weil 2) und 3) sonst nicht so extrem unterschiedlich wären. Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?
01.12.2022, 21:10	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 2) müsste man eigentlich mit 61 anstelle von 60 rechnen. Muss man eventuell einfach k=60 in die zusätzlichen Formeln bei 2) einfügen um 2) und 3) richtig zu lösen? Dies sind die einzigen Formeln zur Ungleichung von Tschbyscheff im Skript. Meine erste Vorgehensweise stammt von einem anderen Prof.
02.12.2022, 00:16	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fleischeinwaage 1) Ich würde zunächst eine Hilfs-Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ für die zufällige Auswahl einer Dose einführen, denn für die gilt: $\begin{eqnarray} E(Y)=400,~Var(Y)=20^{2} \end{eqnarray}$ Dann wird die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gebildet durch $\begin{eqnarray} X=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E(X)=E(Y_{1})+E(Y_{2})+E(Y_{3})+E(Y_{4})=4 \cdot 400=1600 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(X)=Var(Y_{1})+Var(Y_{2})+Var(Y_{3})+Var(Y_{4})=4 \cdot 20^{2}=1600 \end{eqnarray}$ Da Du bei der Varianz keinen Rechenweg angegeben hast, ist es wichtig zu betonen, dass $\begin{eqnarray} X \neq 4 \cdot Y \end{eqnarray}$ , denn das ist nicht dasselbe! 2) Das Ergebnis ist so weit richtig, aber achte auf die Betragsstriche: $\begin{eqnarray} P(\|X-1600\|<60)~... \end{eqnarray}$ Mit der Alternativformel kommt das gleiche Ergebnis raus, wenn Du richtig einsetzt. Hier gilt $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|<1,5\sigma) \geq 1-\frac{\sigma^{2} }{(1,5\sigma)^{2} } \end{eqnarray}$ 3) Das genaue Ergebnis berechnet sich durch $\begin{eqnarray} P(\|X-1600\|<60)=\Phi\left(\frac{1660-1600}{40} \right) -\Phi\left(\frac{1540-1600}{40} \right)=\Phi\left(\frac{1600+1,5 \sigma-1600}{\sigma} \right) -\Phi\left(\frac{1600-1,5 \sigma-1600}{\sigma} \right) \end{eqnarray}$
02.12.2022, 06:52	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
1)In unserem Skript steht " $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n}^{i=1} X_{i} \end{eqnarray}$ ist asymptotisch N(nmü, nsigma^2)-verteilt" als Folgerung aus dem Grenzwertsatz. Dies war meine Grundlage bei der Berechnung von 1). Mich verwirrt nur gerade die Ergänzung " $\begin{eqnarray} X \neq 4 \cdot Y \end{eqnarray}$ " etwas. Sie reden hier von der Zufallsvariable selber, oder? Die Formel kann ja scheinbar beim Erwartungswert und der Varianz angewendet werden, da jeweils die gleichen Ergebnisse rauskommen. 2) Die eigentliche Ausgangssituation sind nur diese beiden Formeln $\begin{eqnarray} P(mü-ksigma\leq x\leq mü+ksigma)\geq 1-\frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(mü-ksigma\leq x\leq mü+ksigma)\geq 2phi(k)-1 (bei Normalverteilung) \end{eqnarray}$ Sie haben scheinbar aus der Ersten dieser beiden Formeln die "Schlussfolgerung gezogen", dass auch " $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|<1,5\sigma) \geq 1-\frac{\sigma^{2} }{(1,5\sigma)^{2} } \end{eqnarray*}$ " gelten muss. Mir ist ist dieser "Umformungsschritt" bzw. wie ich generell diese Fragestellung mit den beiden genannten Ausgangsformeln lösen soll unklar. Könnten Sie dies etwas weiter erläutern? 3)Ich hatte in meinen Überlegungen zu 3) ganz vergessen, dass man ja von beiden Seiten um höchstens 60 abweichen kann. Die Lösung zu diesem Aufgabenteil ist 86,64. Danke.
02.12.2022, 06:55	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
In 3) sind es 86,64%.
02.12.2022, 08:22	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht um die Frage zu 2) etwas zu präzisieren: Wie ermittelt man k=1,5? Wir haben eine Abweichung von höchstens 60 und 4 Flaschen. Dies ergibt 15 und ist somit falsch.
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02.12.2022, 09:56	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Man ermittelt k durch das Auflösen von "1540=1600-k40" oder "1660=1600+k40". Aber nochmal zu Frage 2: Müsste man bei meiner eigenen Ausgangsformel (anderer Prof) nicht immer "<" bzw. ">" durch "\geq bzw. \leq" ersetzen? So berechnet man doch bislang nur die Abweichung um höchstens 59.
02.12.2022, 17:19	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fleischeinwaage Nun gehts weiter. 1) Also eine asymptotische Verteilung habe ich hier gar nicht betrachtet, da in der Aufgabe schon vorausgesetzt werden soll, dass die Fleischeinwaage unabhängig normalverteilt ist. Ich habe daher nur Rechenregeln für Zufallsvariablen angewendet. Die erforderliche Klarstellung ist: Unsere Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ hat im Ergebnis $\begin{eqnarray} Var(X)=4 \cdot Var(Y) \end{eqnarray}$ Eine andere Zufallsvariable $\begin{eqnarray} \hat{X}=4 \cdot Y \end{eqnarray}$ hätte $\begin{eqnarray} Var(\hat{X})=Var(4 \cdot Y)=4^{2}\cdot Var(Y) \end{eqnarray}$ Deswegen habe ich den Übergang von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ auch als Summe geschrieben. 2) Aus der Tschebyscheff-Ungleichung in der Form $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|\leq \lambda)\geq 1-\frac{\sigma^{2} }{\lambda^{2} } \end{eqnarray}$ ergibt sich direkt die Formel aus dem Skript, wenn man $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ durch ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ausdrückt. Einfach ausprobieren. Für die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sigma=40 \end{eqnarray}$ , die Grenze der Abweichung ist $\begin{eqnarray} \lambda=60 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \lambda=1,5 \sigma \end{eqnarray}$ 3) Da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ für die Fleischeinwaage hier stetig verteilt ist (auch wenn man nicht beliebig genau wiegen kann), kommt es bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit letztlich nicht auf das Gleichheitszeichen an. Insbesondere findet hier keine Approximation einer diskreten Verteilung mittels Normalverteilung statt. Das Gewicht kann also um alle reellen Werte von 0 bis 60 abweichen.
02.12.2022, 18:32	FHler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank! In den Lehrbüchern findet man die Formel sowohl als " $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|\leq \lambda)\geq 1-\frac{\sigma^{2} }{\lambda^{2} } \end{eqnarray}$ " und als auch $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|\ <\lambda)\geq 1-\frac{\sigma^{2} }{\lambda^{2} } \end{eqnarray}$ Gibt es da eine bevorzugte Schreibweise, womit man generell immer richtig liegt oder ist dies im Regelfall egal?
02.12.2022, 19:09	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe hier die Version $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|\leq \lambda)\geq 1-\frac{\sigma^{2} }{\lambda^{2} } \end{eqnarray}$ in erster Linie gewählt, um Deiner gegebenen Skriptformel zu entsprechen, obwohl ich in der Literatur auch $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|<\lambda)\geq 1-\frac{\sigma^{2} }{\lambda^{2} } \end{eqnarray}$ gelesen habe. Ob es Konstellationen (angesichts der verteilungsübergreifenden Verwendbarkeit von Tschebyscheff) gibt, wo der Gleichheitsfall tatsächlich nicht stehen darf, müßte ich erst mühsam recherchieren. Für diese Aufgabe wird es keinen Unterschied machen, insbesondere nicht bei der Berechnung der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit nach 3).

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