E begünstigt F = F begünstigt E (bedingte WK)

02.12.2022, 09:16

MMchen60

E begünstigt F = F begünstigt E (bedingte WK)

Liebe Forumsgemeinde, ich soll einen Beweis wie folgt beschrieben führen und dabei die Vierfeldertafel gemäß Anhang verwenden:

Beweise durch eine Termumformung dass aus $\begin{eqnarray*} P_E(F) > P(F) \end{eqnarray*}$ sogar immer $\begin{eqnarray*} P_F(E) > P(E) \end{eqnarray*}$ folgt, dass also aus "E begünstigt F" stets "F begünstigt E" folgt .

Ich habe meinen Lösungsansatz nach der Vierfeldertafel notiert. Ist der Nachweis damit erbracht oder muss da etwas anderes umgeformt werden?
Danke für Antwort

02.12.2022, 09:21

IfindU

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RE: E begünstigt F = F begünstigt E (bedingte WK)
Die Zeile nach der Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac {x + u } { x +y} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig.

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac {x + u } { x +y} P_F(E) = \frac x { x+ y} > x +u \end{eqnarray*}$ .

D.h. insb. ist im Allgemeinen nicht $\begin{eqnarray*} P_E(F) = P_F(E) \end{eqnarray*}$ .

02.12.2022, 10:38

MMchen60

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RE: E begünstigt F = F begünstigt E (bedingte WK)

Zitat:

Original von IfindU
Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac {x + u } { x +y} P_F(E) = \frac x { x+ y} > x +u \end{eqnarray*}$ .

Wäre das jetzt richtig?
LG Meinolf

02.12.2022, 10:44

IfindU

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Ja, so kann man es machen Freude

Am Anfang ist (2) noch zu zeigen, d.h. du solltest es etwas vorsichtiger schreiben.

Formal müsste man jetzt noch Trivialfälle untersuchen. Was ist wenn $\begin{eqnarray*} x + y = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x + u \end{eqnarray*}$ ? Kann das sein, wenn ja, was dann?

02.12.2022, 10:58

HAL 9000

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Ich denke, man muss hier $\begin{eqnarray*} P(E)>0,P(F)>0 \end{eqnarray*}$ voraussetzen, sonst stimmt die Aussage nicht:

Es gibt ja auch die allgemeinere Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P_E(F) \end{eqnarray*}$ über die bedingte Erwartung, welche auch den Fall $\begin{eqnarray*} P(E)=0 \end{eqnarray*}$ zulässt. Und gemäß der gibt es hier durchaus Gegenbeispiele:

$\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1]^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ als zweidimensionalen Lebesguemaß, sowie $\begin{eqnarray*} E=\{(0,0)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F=[0,1]\times \{0\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} E\subset F \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} P_E(F)=1 > 0 = P(F) \end{eqnarray*}$ , aber andererseits ist $\begin{eqnarray*} P_F(E)=0 = P(E) \end{eqnarray*}$ statt des behaupteten >.

02.12.2022, 11:06

MMchen60

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Zitat:

Original von IfindU
Am Anfang ist (2) noch zu zeigen, d.h. du solltest es etwas vorsichtiger schreiben.

Formal müsste man jetzt noch Trivialfälle untersuchen. Was ist wenn $\begin{eqnarray*} x + y = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x + u \end{eqnarray*}$ ? Kann das sein, wenn ja, was dann?

Wie ist (2) anfänglich zu zeigen? Ich habe hier nur die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit aufgeführt.

Wegen der Trivialfälle, ich habe vergessen aufzuschreiben, dass bei der Vierfeldertafel noch zusätzlich gegeben war x+y+u+v=1. Das dürfte doch die Trivialfälle ausschließen oder?
Und auch die Anmerkung von HAL 90000 befriedigen.
LG Meinolf

02.12.2022, 11:13

IfindU

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Zitat:

Original von MMchen60
Wie ist (2) anfänglich zu zeigen? Ich habe hier nur die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit aufgeführt.

Und direkt danach die zu zeigende Ungleichung aufgeschrieben. Die Ungleichung gilt es ja gerade zu zeigen.

@HAL Danke für das Beispiel. So viel zu "Trivialfällen", ich hätte es "Sonderfälle" nennen sollen Big Laugh

02.12.2022, 12:33

HAL 9000

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Vom Standpunkt der "klassischen" Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P_E(F):=\frac{P(E\cap F)}{P(E)} \end{eqnarray*}$ macht die Behauptung einfach nur Sinn, wenn man zumindest $\begin{eqnarray*} P(E)>0 \end{eqnarray*}$ voraussetzt:

$\begin{eqnarray*} P(F)>0 \end{eqnarray*}$ muss nicht extra vorausgesetzt werden, denn aus der Annahme $\begin{eqnarray*} P(F)=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} P(E\cap F)=0 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} P_E(F)=0 \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} P_E(F)>P(F) \end{eqnarray*}$ .

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