Superposition trigonometrische Funktionen

03.12.2022, 08:19

MMchen60

Superposition trigonometrische Funktionen

Liebe Forumsgemeinde,
wie ginge es bei folgender Aufgabenstellung weiter
a) im nichtkomplexen Bereich
b) im komplexen Bereich, wobei ja $\begin{eqnarray*} \underline{A} =\underline{A_1}+\underline{A_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{ges}(t)=|\underline{A}|\cdot sin(\omega t + \varphi_{(\underline{A})} ) \end{eqnarray*}$ ist. Nur, was bedeuten bei dieser Darstellung die Unterstriche? Dass es um den realen oder komplexen Anteil handelt? Und wie kommt man dabei zu $\begin{eqnarray*} \varphi_{(\underline{A})} \end{eqnarray*}$ bzw. zurück zur nichtkomplexen Darstellung?

03.12.2022, 16:33

HAL 9000

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Den Formeln nach zu urteilen steht hier $\begin{eqnarray*} \underline{A} \end{eqnarray*}$ für den entsprechenden komplexen Zeiger der Schwingung, d.h. $\begin{eqnarray*} \underline{A} = \left|\underline{A}\right|\cdot e^{i\varphi_{(\underline{A})}} \end{eqnarray*}$ mit Amplitude $\begin{eqnarray*} \left|\underline{A}\right| \end{eqnarray*}$ und Phase $\begin{eqnarray*} \varphi_{(\underline{A})} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MMchen60
Und wie kommt man dabei zu $\begin{eqnarray*} \varphi_{(\underline{A})} \end{eqnarray*}$ bzw. zurück zur nichtkomplexen Darstellung?

Einfach die Polardarstellung der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} \underline{A} = \underline{A}_1+\underline{A}_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen! Deren Betrag liefert die Amplitude, und das Argument die Phase der Superposition beider Schwingungen 1 und 2.

P.S.: Natürlich sollte man vorab alle Ausgangsschwingungen auf die Sinusdarstellung bringen, d.h.,

$\begin{eqnarray*} A\sin\left(\omega t + \varphi\right) = \operatorname{Im}\left( Ae^{i\varphi}\cdot e^{i\omega t}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cos\left(\omega t + \varphi\right) = A\sin\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{Im}\left( Ae^{i\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)}\cdot e^{i\omega t}\right) \end{eqnarray*}$ .

04.12.2022, 09:08

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Den Formeln nach zu urteilen steht hier $\begin{eqnarray*} \underline{A} \end{eqnarray*}$ für den entsprechenden komplexen Zeiger der Schwingung, d.h. $\begin{eqnarray*} \underline{A} = \left|\underline{A}\right|\cdot e^{i\varphi_{(\underline{A})}} \end{eqnarray*}$ mit Amplitude $\begin{eqnarray*} \left|\underline{A}\right| \end{eqnarray*}$ und Phase $\begin{eqnarray*} \varphi_{(\underline{A})} \end{eqnarray*}$ .

Ja, schon, ich frage mich allerdings, wie man über diese Rechnungen zu einem $\begin{eqnarray*} \hat{a} \end{eqnarray*}$ von 241,3 kommt, was von GEOGEBRA gemeldet wird, siehe Grafik.
Mich würde vor allem auch interessieren, wie man das über die trigonometrische Darstellung berechnet. Zwar kenne ich die Additionstheoreme von $\begin{eqnarray*} sin(\alpha) + sin(\beta) \end{eqnarray*}$ , nur, da ist ja a in beiden Flällen gleich groß. Was mache ich aber mit $\begin{eqnarray*} a_1=100 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2=160 \end{eqnarray*}$ ?
Habe das gesamte Internet durchgegoogelt und nichts gefunden.

04.12.2022, 12:15

HAL 9000

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Kein "allerdings", gehe einfach vor wie beschrieben! Die Zeigersumme ist $\begin{eqnarray*} \underline{A} = 100 + 160 e^{i\frac{\pi}{4}} = \left(100 + 80\sqrt{2}\right) + 80\sqrt{2}i \end{eqnarray*}$ , und darauf basierend

$\begin{eqnarray*} \left| \underline{A} \right| = \sqrt{\left(100 + 80\sqrt{2}\right)^2 + 80^2\cdot 2} = \sqrt{35600 + 16000\sqrt{2}}\approx 241.3 \end{eqnarray*}$ .

04.12.2022, 15:29

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Kein "allerdings", gehe einfach vor wie beschrieben! Die Zeigersumme ist $\begin{eqnarray*} \underline{A} = 100 + 160 e^{i\frac{\pi}{4}} = \left(100 + 80\sqrt{2}\right) + 80\sqrt{2}i \end{eqnarray*}$ , und darauf basierend

$\begin{eqnarray*} \left| \underline{A} \right| = \sqrt{\left(100 + 80\sqrt{2}\right)^2 + 80^2\cdot 2} = \sqrt{35600 + 16000\sqrt{2}}\approx 241.3 \end{eqnarray*}$ .

Danke, das habe ich jetzt verstanden. Aber, wie kommt man jetzt zurück auf $\begin{eqnarray*} 241,3 \cdot sin(\omega t+ \delta) \end{eqnarray*}$ ? Laut GEOGEBRA ist $\begin{eqnarray*} \delta= \frac {\pi}{6,5} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \omega=500 \end{eqnarray*}$ Und wie ist der Rechenweg ohne komplexe Darstellung? Bin das von einem Studenten im 2. Semester gefragt worden, der das ohne komplexe Darstellung machen muss.
VG Meinolf

04.12.2022, 16:04

mYthos

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Trigonometrisch mit dem COS-Satz.

04.12.2022, 16:20

HAL 9000

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Eine rein "reelle" Betrachtung? Nun gut, das Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \sin(\omega t + \varphi) = \cos(\varphi)\sin(\omega t) + \sin(\varphi)\cos(\omega t)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

kann man von links nach rechts, aber auch von rechts nach links lesen. Letzteres soll heißen:

Ausgehend von einer Superpositionsdarstellung $\begin{eqnarray*} U\sin(\omega t) + V\cos(\omega t) \end{eqnarray*}$ kann man über Polarkoordinatentransformation

$\begin{eqnarray*} U = A\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V = A\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

aus den bekannten $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ dann Amplitude $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und Phase $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der äquivalenten Darstellung $\begin{eqnarray*} A\sin(\omega t + \varphi) \end{eqnarray*}$ berechnen.

(*) kann man als Imaginärteil der einfacher zu schreibenden komplexen Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{i(\omega t+\varphi)} = e^{i\varphi}\cdot e^{i\omega t} \end{eqnarray*}$ deuten - muss es aber nicht.

05.12.2022, 09:20

MMchen60

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Also mache ich das mal grafisch, wahrscheinlich auch so, wie die Elektrotechniker das tun.
Hoffe, habe das richtig gemacht.

05.12.2022, 09:27

HAL 9000

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Ob nun rein per Rechnung oder garniert mit Grafik:

Ja, Summenvektor erstellen und dann auf den Polarkoordinaten-Transformation anwenden.

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