Münzspiel n-mal spielen

03.12.2022, 08:49

NalaBee

Münzspiel n-mal spielen

Meine Frage:
Hallo,

wenn ich ein faire Münzspiel n-mal spiele und ich verliere oder gewinne in jeder Runde 2?. Die Spielrunden sind unabhängig und gleichartig. Wie berechne ich dann den erwarteten Gewinn?

Meine Ideen:
Wenn ich den erwarteten Gewinn ganz einfach für die erste Runde ausrechne erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (X_{1})&=\frac{1}{2}(-2)+\frac{1}{2}(2)=0 \end{eqnarray*}$ . Wird das dann mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ multipliziert? Ich hab auch schon an den Erwartungswert der Binomialverteilung gedacht, aber da wird das Geld gewinnen oder verlieren, gar nicht betrachtet.
Ich wäre für Eure Hilfe sehr dankbar.

03.12.2022, 09:21

HAL 9000

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Erwartungswert 0 ist richtig.

Zitat:

Original von NalaBee
Ich hab auch schon an den Erwartungswert der Binomialverteilung gedacht, aber da wird das Geld gewinnen oder verlieren, gar nicht betrachtet.

Ist $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ der Gewinn der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Runde, dann kann man das als $\begin{eqnarray*} X_k=4Y_k-2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} Y_k = \begin{cases} 1 &\mbox{ Gewinn in Runde }k\\ 0 &\mbox{ Verlust in Runde }k\end{cases} \end{eqnarray*}$

schreiben. Damit gilt für den Gesamtgewinn $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Runden

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k = 4B_n - 2n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_n=\sum_{k=1}^n Y_k \sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

D.h., $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ selbst ist zwar nicht binomialverteilt, geht aber durch diese lineare Transformation $\begin{eqnarray*} 4B_n - 2n \end{eqnarray*}$ aus einer solchen hervor. Wie gesagt, das braucht man für den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(S_n)=0 \end{eqnarray*}$ nicht wirklich, aber vielleicht hast du ja auch noch weiter gehende Fragen hinsichtlich dieses $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .

03.12.2022, 10:34

NalaBee

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Danke für deine Antwort.
Wenn man $\begin{eqnarray*} S_{1} \end{eqnarray*}$ ausrechnet, wie sieht $\begin{eqnarray*} B_{1} \end{eqnarray*}$ dann aus? Vielleicht so: $\begin{eqnarray*} B_{1}=1 \cdot \frac{1}{2}+0 \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

03.12.2022, 12:29

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} B_1=Y_1 \end{eqnarray*}$ ist keine reelle Zahl, sondern eine Zufallsgröße mit Wert 1 im Erfolgsfall, und 0 im Verlustfall. Was du meinst, ist womöglich der Erwartungswert dieser Größe, also $\begin{eqnarray*} E(B_1)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, ich habe den Zusammenhang zur Binomialverteilung nur erwähnt, falls du noch was anderes berechnen willst. Etwa sowas wie die Wahrscheinlichkeit, in 10 Spielen insgesamt mindestens 10 Euro zu gewinnen:

$\begin{eqnarray*} P\left(S_{10}\geq 10\right) = P\left(4B_{10}-20\geq 10\right) = P\left(B_{10}\geq 7.5\right) = \frac{1}{2^{10}} \sum_{k=8}^{10} \binom{10}{k} = \frac{7}{128}\approx 0.055 \end{eqnarray*}$ .

04.12.2022, 10:25

NalaBee

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Wow

Das hast du echt schön gelöst, Danke. Freude

Ich habe aber noch eine Frage, da ich das richtig verstehen möchte.

Wenn ich einfach nur wissen möchte, ob ich in diesem Spiel in der n-ten Spielrunde Gewinnen oder Verlieren werde, wie formuliere ich dann den Erwartungswert des n-ten Spiels?
$\begin{eqnarray*} E(X_{n})=? \end{eqnarray*}$

04.12.2022, 11:17

HAL 9000

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Na das hast du doch schon im ersten Beitrag genau richtig gemacht. Ausführlich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} E\left(X_n\right) = 2\cdot P\left(X_n=2\right) + \left(-2\right)\cdot P\left(X_n=-2\right) = 2\cdot \frac{1}{2} + \left(-2\right)\cdot \frac{1}{2} = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

05.12.2022, 08:46

NalaBee

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Ahh ich verstehe.
Ohh man. ich denke wieder zu kompliziert. Hammer

Vielen Dank!

Gebe es noch einen Einsatz (E), dann könnte man das einfach so schreiben:
$\begin{eqnarray*} E(X_{n})=E \cdot n \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

05.12.2022, 09:06

HAL 9000

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Hmm, jetzt missverstehst du meine Symbolik. Ich habe geschrieben

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ der Gewinn der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Runde

und meine es auch so: Nur der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Runde, und damit NICHT der Gesamtgewinn der Runden $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,k \end{eqnarray*}$ . Und das gilt natürlich auch für $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ .

Diesen Gesamtgewinn von Runde 1 bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hatte ich oben mit $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Wenn du also einfach Symbole wie $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ verwendest ohne sie zu erklären, dann gehe ich davon aus, dass du auf meine Bezeichnungen in deren Bedeutung zurückgreifst - so sind die Spielregeln. Augenzwinkern

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Wenn es dir tatsächlich um den Gesamtgewinn geht, dort würde man so rechnen:

$\begin{eqnarray*} E\left(S_n\right) = E\left(\sum_{k=1}^n X_k\right) = \sum_{k=1}^n E\left(X_k\right) \stackrel{!}{=} n\cdot E\left(X_1\right) \end{eqnarray*}$ .

Warum das? Nun, weil die Einzelgewinne in allen Spielrunden gleich verteilt sind, daher alle $\begin{eqnarray*} E\left(X_k\right) \end{eqnarray*}$ einander gleich sind, und man kann exemplarisch $\begin{eqnarray*} E\left(X_1\right) \end{eqnarray*}$ nehmen.

Man sollte aber nicht den Fehler machen und $\begin{eqnarray*} S_n \stackrel{?}{=} n\cdot X_1 \end{eqnarray*}$ schreiben: Das würde nämlich bedeuten, dass das Ergebnis des ersten Wurfes dann einfach nur $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -mal auf die anderen Würfe kopiert wird, was ja nicht der Fall ist. Beispielsweise spürt man das bei der Varianz: Bei der ist der unabhängigen Würfe wegen

$\begin{eqnarray*} V\left(S_n\right) = V\left(\sum_{k=1}^n X_k\right) \stackrel{U}{=} \sum_{k=1}^n V\left(X_k\right) = n\cdot V\left(X_1\right) = 4n \end{eqnarray*}$ ,

während aber $\begin{eqnarray*} V\left(n\cdot X_1\right) = n^2\cdot V\left(X_1\right) = 4n^2 \end{eqnarray*}$ ist!

06.12.2022, 14:12

NalaBee

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Ohh sorry. geschockt

Das war nicht schlau von mir. Hammer

Also da die Einzelgewinne gleich verteilt sind, gilt $\begin{eqnarray*} E(S_{n})&= n \cdot E(X_{1}) \end{eqnarray*}$ .

Wären die Einzelgewinne aber nicht gleich verteilt, dann gilt $\begin{eqnarray*} E(S_{n})&= \sum_{k=1}^{n}E(X_{k}) \end{eqnarray*}$ .
Müsste nicht in diesem Fall wegen der Unabhängigkeit und Gleichartigkeit der Spielrunden $\begin{eqnarray*} E(X_{1})=E(X_{2})=...=E(X_{n}) \end{eqnarray*}$ gelten?

Zitat:

D.h., $\begin{eqnarray*} S_{n} \end{eqnarray*}$ selbst ist zwar nicht binomialverteilt, geht aber durch diese lineare Transformation $\begin{eqnarray*} 4B_{n}-2n \end{eqnarray*}$ aus einer solchen hervor.

Wie geht die Binomialverteilung aus der angegebenen linearen Transformation hervor? Das habe ich leider nicht ganz verstanden. verwirrt

06.12.2022, 14:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von NalaBee
Müsste nicht in diesem Fall wegen der Unabhängigkeit und Gleichartigkeit der Spielrunden $\begin{eqnarray*} E(X_{1})=E(X_{2})=...=E(X_{n}) \end{eqnarray*}$ gelten?

In meinen Augen ist das etwas anders formuliert dasselbe wie

Zitat:

Original von HAL 9000
Nun, weil die Einzelgewinne in allen Spielrunden gleich verteilt sind, daher alle $\begin{eqnarray*} E\left(X_k\right) \end{eqnarray*}$ einander gleich sind, und man kann exemplarisch $\begin{eqnarray*} E\left(X_1\right) \end{eqnarray*}$ nehmen.

Daher verstehe ich nicht so ganz deine seltsame Formulierung mit "müsste". Es IST so, kein "müsste" !!!

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Was $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ betrifft, wiederhole ich nochmal wie es entstanden ist:

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ der Gewinn der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Runde, dann kann man das als $\begin{eqnarray*} X_k=4Y_k-2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} Y_k = \begin{cases} 1 &\mbox{ Gewinn in Runde }k\\ 0 &\mbox{ Verlust in Runde }k\end{cases} \end{eqnarray*}$

schreiben. Damit gilt für den Gesamtgewinn $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Runden

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k = 4B_n - 2n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\color{red}B_n=\sum_{k=1}^n Y_k} \sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} Y_k \end{eqnarray*}$ ist also eine Indikatorvariable die anzeigt, dass Runde $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gewonnen wurde. Die Definition von $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ nun gerade die zufällige Anzahl der Gewinnrunden ist. Das ist die typische Situation "Erfolgsanzahl im Bernoulli-Experiment" - da solltest du eigentlich kennengelernt haben, wenn du auch nur ein bisschen Stochastik-Unterricht gehabt hast, dass diese Größe binomialverteilt ist.

Der Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ ergibt sich nun einfach aus jenem von $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_k \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k = \sum_{k=1}^n \left(4Y_k - 2\right) = \sum_{k=1}^n 4Y_k - \sum_{k=1}^n 2 = 4\left(\sum_{k=1}^n Y_k\right) - 2n = 4B_n - 2n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von NalaBee
Wie geht die Binomialverteilung aus der angegebenen linearen Transformation hervor?

Diese Formulierung legt nahe, dass du gedanklich Ursache und Wirkung vertauschst: Da steht nirgendwo, dass die Binomialverteilung aus der linearen Transformation hervorgeht. Sondern dass die Zufallsgröße Gesamtgewinn $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ durch lineare Transformation aus einer binomialverteilten Zufallsgröße hervorgeht!!! Du musst schon genau lesen.

06.12.2022, 15:02

NalaBee

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Habe es jetzt kapiert. Vielen Dank für deine Hilfe. Sehr lieb von dir! Freude

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